Uma alavanca (de massa desprezível) pode girar em torno de um suporte. As forças \vec{F}_{1} e \vec{F}_{2} são aplicadas na alavanca.
a) Determine a localização do suporte de tal maneira que o sistema esteja em equilíbrio mecânico. Encontre a magnitude da força \vec{A}.
b) Verifique se a resposta é fisicamente coerente; faça a análise da solução. Em particular, teste se o resultado obtido corresponde a sua intuição para o caso de forças iguais \vec{F}_{1}=\vec{F}_{2}.
Dica: Mesmo nesse caso simples calcule os torques em relação a algum ponto utilizando a notação ve-
torial, justamente para ir se acostumando a notação vetorial. \vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar a posição do suporte (distância a a partir da extremidade esquerda) de modo que a alavanca esteja em equilíbrio mecânico.
  • (a) Encontrar a magnitude da força de reação no suporte \vec{A}.
  • (b) Verificar se a solução faz sentido fisicamente, em especial comparar com o caso \vec{F}_1=\vec{F}_2.
Informações relevantes fornecidas (retiradas da figura):
  • Há uma alavanca de massa desprezível com duas forças verticais para baixo: \vec{F}_1 aplicada na extremidade esquerda e \vec{F}_2 aplicada na extremidade direita.
  • A distância entre as duas forças (entre as extremidades) é \,l.
  • O suporte exerce uma força vertical para cima \vec{A} e está localizado a uma distância \,a da extremidade esquerda (essa é a posição a determinar).
  • As forças \vec{F}_1 e \vec{F}_2 são conhecidas (valores genéricos simbólicos).

Passo 2

Condições de equilíbrio estático (o que vamos usar):
  • Para que a alavanca esteja em equilíbrio mecânico é necessário que a soma vetorial das forças seja zero e que a soma dos torques (momentos) em relação a qualquer ponto seja zero.
  • Em fórmulas:
\sum \vec{F}=\vec{0},\qquad \sum \vec{\tau}=\vec{0}.
Explicando o torque vetorial:
  • O torque (momento) de uma força \vec{F} em relação a um ponto é \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}, onde \vec{r} é o vetor posição do ponto de aplicação da força relativo ao ponto de referência.
  • O módulo do torque, quando \vec{r} e \vec{F} são perpendiculares (caso comum aqui), é \tau = r\,F porque \sin 90^\circ =1.
  • O torque tem direção perpendicular ao plano formado por \vec{r} e \vec{F} (em nosso caso a direção é ao longo do eixo z, para dentro ou para fora do plano), e o sinal (sentido) determina se tende a girar no sentido horário ou anti-horário.

Passo 3

Escolha de eixos e posições (peguei essas posições da figura):
  • Coloco a origem em x=0 na extremidade esquerda da barra (como na segunda figura).
  • Eixo x horizontal, positivo para a direita. Eixo y vertical, positivo para cima.
  • Força \vec{F}_1 atua na posição x=0 e é vertical para baixo: \vec{F}_1 = -F_1\,\hat{\jmath}.
  • Força \vec{F}_2 atua na posição x=l e é vertical para baixo: \vec{F}_2 = -F_2\,\hat{\jmath}.
  • Força de reação do suporte \vec{A} atua em x=a e é vertical para cima: \vec{A}=A\,\hat{\jmath}.
  • Como a barra tem massa desprezível, não há peso próprio a considerar.

Passo 4

Equilíbrio de forças (vertical):
  • A soma das forças verticais deve ser zero:
A - F_1 - F_2 = 0.
  • Isolando A:
A = F_1 + F_2.
Explicação: como as duas forças externas puxam para baixo, a reação para cima tem que igualar a soma para que a resultante vertical seja nula.

Passo 5

Equilíbrio de torques (escolhendo o ponto do suporte como referência é conveniente porque aí o torque da reação é nulo):
  • Vamos calcular os torques das forças \vec{F}_1 e \vec{F}_2 em relação ao ponto onde a reação age (o pivô no x=a). Nesse ponto o vetor posição da reação é nulo, logo \vec{\tau}_A=\vec{0} e não aparece na soma.
  • Vetores posição das forças relativos ao pivô:
    • Para \vec{F}_1: \vec{r}_1 = (0-a)\,\hat{\imath} = -a\,\hat{\imath}.
    • Para \vec{F}_2: \vec{r}_2 = (l-a)\,\hat{\imath}.
  • Torques usando \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}:
    • \vec{\tau}_1 = \vec{r}_1\times\vec{F}_1 = (-a\,\hat{\imath})\times(-F_1\,\hat{\jmath}).
    • \vec{\tau}_2 = \vec{r}_2\times\vec{F}_2 = ((l-a)\,\hat{\imath})\times(-F_2\,\hat{\jmath}).
  • Calculemos as componentes (lembre que \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}):
    • \vec{\tau}_1 = (-a)(-F_1)\,(\hat{\imath}\times\hat{\jmath}) = aF_1\,\hat{k}.
    • \vec{\tau}_2 = (l-a)(-F_2)\,(\hat{\imath}\times\hat{\jmath}) = -(l-a)F_2\,\hat{k}.
  • A condição \sum \vec{\tau}=\vec{0} (componente em \hat{k} zero) dá:
aF_1 - (l-a)F_2 = 0.
  • Resolvendo para a:
aF_1 = (l-a)F_2 \quad\Rightarrow\quad aF_1 = lF_2 - aF_2
a(F_1+F_2)=lF_2
a = \dfrac{l\,F_2}{F_1+F_2}.
Interpretação matemática: o pivô fica mais perto da força maior, porque assim reduz-se o braço de alavanca dessa força e iguala-se o momento.

Passo 6

Análise física e casos particulares (verificação de coerência):
  • Verificação do caso simétrico \,F_1=F_2:
    • Substituindo F_1=F_2 em \,a=\dfrac{lF_2}{F_1+F_2}
    a=\dfrac{lF_1}{F_1+F_1}=\dfrac{lF_1}{2F_1}=\dfrac{l}{2},isto é, o suporte fica no ponto médio, como a intuição diz. A magnitude da reação é A=F_1+F_2=2F_1.
  • Limites extremos:
    • Se F_2\gg F_1, então a\approx l: o suporte deve ficar próximo da força \vec{F}_2 (próximo à extremidade direita) — faz sentido, porque o pivô precisa estar perto da força grande para equilibrar momentos.
    • Se F_1\gg F_2, então a\approx 0: o suporte fica próximo da extremidade esquerda.
  • Sobre sinais e consistência vetorial: calculamos torques vetorialmente e encontramos que os torques de \vec{F}_1 e \vec{F}_2 têm sinais opostos (um tende a girar em sentido positivo, o outro em sentido negativo) e para equilíbrio os módulos ponderados pelos braços r são iguais, condição que levou à expressão de a.
  • Conclusão física: a posição encontrada e o valor de A são coerentes com a intuição e com os limites, e também resultam diretamente das condições vetoriais de equilíbrio.

Resposta

a=\dfrac{l\,F_2}{F_1+F_2}
A=F_1+F_2

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