Uma alavanca (de massa desprezível) pode girar em torno de um suporte. As forças
e
são aplicadas na alavanca.
a) Determine a localização do suporte de tal maneira que o sistema esteja em equilíbrio mecânico. Encontre a magnitude da força
.
b) Verifique se a resposta é fisicamente coerente; faça a análise da solução. Em particular, teste se o resultado obtido corresponde a sua intuição para o caso de forças iguais
.
Dica: Mesmo nesse caso simples calcule os torques em relação a algum ponto utilizando a notação ve-
torial, justamente para ir se acostumando a notação vetorial.
.
a) Determine a localização do suporte de tal maneira que o sistema esteja em equilíbrio mecânico. Encontre a magnitude da força
b) Verifique se a resposta é fisicamente coerente; faça a análise da solução. Em particular, teste se o resultado obtido corresponde a sua intuição para o caso de forças iguais
Dica: Mesmo nesse caso simples calcule os torques em relação a algum ponto utilizando a notação ve-
torial, justamente para ir se acostumando a notação vetorial.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar a posição do suporte (distância
a partir da extremidade esquerda) de modo que a alavanca esteja em equilíbrio mecânico. - (a) Encontrar a magnitude da força de reação no suporte
. - (b) Verificar se a solução faz sentido fisicamente, em especial comparar com o caso
.
Informações relevantes fornecidas (retiradas da figura):
- Há uma alavanca de massa desprezível com duas forças verticais para baixo:
aplicada na extremidade esquerda e aplicada na extremidade direita. - A distância entre as duas forças (entre as extremidades) é
. - O suporte exerce uma força vertical para cima
e está localizado a uma distância da extremidade esquerda (essa é a posição a determinar). - As forças
e são conhecidas (valores genéricos simbólicos).
Passo 2
Condições de equilíbrio estático (o que vamos usar):
- Para que a alavanca esteja em equilíbrio mecânico é necessário que a soma vetorial das forças seja zero e que a soma dos torques (momentos) em relação a qualquer ponto seja zero.
- Em fórmulas:
Explicando o torque vetorial:
- O torque (momento) de uma força
em relação a um ponto é , onde é o vetor posição do ponto de aplicação da força relativo ao ponto de referência. - O módulo do torque, quando
e são perpendiculares (caso comum aqui), é porque . - O torque tem direção perpendicular ao plano formado por
e (em nosso caso a direção é ao longo do eixo , para dentro ou para fora do plano), e o sinal (sentido) determina se tende a girar no sentido horário ou anti-horário.
Passo 3
Escolha de eixos e posições (peguei essas posições da figura):
- Coloco a origem em
na extremidade esquerda da barra (como na segunda figura). - Eixo
horizontal, positivo para a direita. Eixo vertical, positivo para cima. - Força
atua na posição e é vertical para baixo: . - Força
atua na posição e é vertical para baixo: . - Força de reação do suporte
atua em e é vertical para cima: . - Como a barra tem massa desprezível, não há peso próprio a considerar.
Passo 4
Equilíbrio de forças (vertical):
- A soma das forças verticais deve ser zero:
- Isolando
:
Explicação: como as duas forças externas puxam para baixo, a reação para cima tem que igualar a soma para que a resultante vertical seja nula.
Passo 5
Equilíbrio de torques (escolhendo o ponto do suporte como referência é conveniente porque aí o torque da reação é nulo):
- Vamos calcular os torques das forças
e em relação ao ponto onde a reação age (o pivô no ). Nesse ponto o vetor posição da reação é nulo, logo e não aparece na soma. - Vetores posição das forças relativos ao pivô:
- Para
: . - Para
: .
- Para
- Torques usando
: -
. -
.
-
- Calculemos as componentes (lembre que
): -
- A condição
(componente em zero) dá:
- Resolvendo para
:
Interpretação matemática: o pivô fica mais perto da força maior, porque assim reduz-se o braço de alavanca dessa força e iguala-se o momento.
Passo 6
Análise física e casos particulares (verificação de coerência):
- Verificação do caso simétrico
: - Substituindo
em dá
isto é, o suporte fica no ponto médio, como a intuição diz. A magnitude da reação é . - Substituindo
- Limites extremos:
- Se
, então : o suporte deve ficar próximo da força (próximo à extremidade direita) — faz sentido, porque o pivô precisa estar perto da força grande para equilibrar momentos. - Se
, então : o suporte fica próximo da extremidade esquerda.
- Se
- Sobre sinais e consistência vetorial: calculamos torques vetorialmente e encontramos que os torques de
e têm sinais opostos (um tende a girar em sentido positivo, o outro em sentido negativo) e para equilíbrio os módulos ponderados pelos braços são iguais, condição que levou à expressão de . - Conclusão física: a posição encontrada e o valor de
são coerentes com a intuição e com os limites, e também resultam diretamente das condições vetoriais de equilíbrio.