Uma força dada por \mathrm{F}(\mathrm{x})=5,00 \mathrm{x}^{3} atua sobre uma massa que se move sobre uma superfície sem atrito.
a) RA1 - Qual é a relação que permite calcular o trabalho neste caso?
b) RA1 - Determine a expressão para o cálculo do trabalho em função da posição final e inicial;
c) RA2 - A massa de 1,00 \mathrm{~kg} se move de x=2,00 \mathrm{~m} para x=6,00 \mathrm{~m}, quanto trabalho é realizado pela força;
d) RA2 - Se a massa tem velocidade de 2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em \mathrm{x}=2,00 \mathrm{~m}, qual a sua velocidade em \mathrm{x}= 6,00 \mathrm{~m} ?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados e as perguntas para não se perder):
Força: \mathrm{F}(x)=5,00\;x^{3}.
Há movimento unidimensional sobre uma superfície sem atrito.
Massa: m=1,00\\ \mathrm{kg}.
Movimento entre x=2,00\\ \mathrm{m} e x=6,00\\ \mathrm{m}.
Velocidade em x=2,00\\ \mathrm{m}: v_i=2,00\\ \mathrm{m/s}.
Perguntas:
a) Qual é a relação que permite calcular o trabalho neste caso?
b) Determine a expressão para o cálculo do trabalho em função da posição final e inicial.
c) Calcule numericamente o trabalho realizado pela força quando a massa se move de x=2,00\\ \mathrm{m} para x=6,00\\ \mathrm{m}.
d) Usando que v(2,00\\ \mathrm{m})=2,00\\ \mathrm{m/s}, qual é a velocidade em x=6,00\\ \mathrm{m}?
Passo 2
Conceito de trabalho (aula rápida e prática). Em uma dimensão (eixo x), o trabalho realizado por uma força que varia com a posição é dado pela integral da força ao longo do deslocamento. Em linguagem simples: somamos (integral) as contribuições infinitesimais de força vezes deslocamento. A fórmula matemática geral é
W=\int_{x_i}^{x_f} \mathrm{F}(x)\,dx,
onde:
W é o trabalho total realizado pela força entre as posições x_i e x_f;
\mathrm{F}(x) é a força em função da posição x;
dx representa um deslocamento infinitesimal ao longo do eixo x.
Isto responde a (a) com a relação pedida.
Passo 3
Derivando a expressão fechada do trabalho (resposta a b)). Aplicamos a fórmula do passo anterior com \mathrm{F}(x)=5,00\;x^{3}. Precisamos calcular a primitiva (antiderivada) de 5,00\;x^{3}. A regra de potência para integrais diz que
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
para n\neq -1. Aqui n=3, então
\int 5,00\;x^{3}\,dx = 5,00\cdot\frac{x^{4}}{4} + C = \frac{5,00}{4}\,x^{4}+C.
Essa é a expressão pedida na parte (b). Aqui explicando as variáveis: x_i é a posição inicial, x_f é a posição final.
Passo 4
Cálculo numérico do trabalho entre x_i=2,00\\ \mathrm{m} e x_f=6,00\\ \mathrm{m} (parte c)). Primeiro calculo x^4 em cada ponto:
6,00^{4}=6^{4}=1296,\qquad 2,00^{4}=2^{4}=16.
Diferença:
x_f^{4}-x_i^{4}=1296-16=1280.
Agora multiplico por \dfrac{5,00}{4}:
W=\frac{5,00}{4}\cdot 1280.
Faço em etapas fáceis de seguir: 1280/4=320. Então 5,00\cdot 320=1600. Logo
W=1600\\ \mathrm{J}.
Comentário físico curto: trabalho positivo significa que a força forneceu energia ao corpo (aumentou sua energia cinética).
Passo 5
Conectando trabalho e energia cinética (para responder d)). O teorema energia-trabalho diz que o trabalho total realizado sobre uma massa é igual à variação da sua energia cinética:
W=\Delta K = \tfrac{1}{2}m v_f^{2}-\tfrac{1}{2}m v_i^{2}.
Como aqui não há atrito e só essa força faz trabalho, podemos usar W calculado no passo anterior. Isolando v_f:
\tfrac{1}{2}m v_f^{2}=\tfrac{1}{2}m v_i^{2}+W
v_f^{2}=v_i^{2}+\frac{2W}{m}
v_f=\sqrt{v_i^{2}+\frac{2W}{m}}.
Essa fórmula é prática na prova: pega a energia cinética inicial, adiciona o trabalho por unidade de massa (convertido corretamente), e tira a raiz.
Para verificar mentalmente: 56^{2}=3136 e 57^{2}=3249, então \sqrt{3204} fica entre 56 e 57, próximo de 56,6 (concorda com a conta). Portanto a massa chega em x=6,00\\ \mathrm{m} com velocidade aproximadamente 56,6\\ \mathrm{m/s}.