O trabalho realizado por uma força constante sobre uma partícula durante um deslocamento retilíneo é positivo ou negativo se \vec{F}=(2,00 \hat{i}-3,00 \hat{j}) N e \vec{d}=-4,00 \hat{i} \mathrm{~m}?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A força constante é \vec{F}=(2{,}00\,\hat{i}-3{,}00\,\hat{j})\\ \text{N}.
  • O deslocamento retilíneo é \vec{d}=-4{,}00\,\hat{i}\\ \text{m}.
    A pergunta é: o trabalho realizado por essa força durante esse deslocamento é positivo ou negativo (ou seja, qual é o valor do trabalho e seu sinal)?

Passo 2

Conceito que vou usar (explicado com calma): para uma força constante o trabalho W realizado ao longo de um deslocamento é dado pelo produto escalar (dot product) entre a força e o deslocamento.
W=\vec{F}\cdot\vec{d}.
Aqui:
  • \vec{F} é a força (em newtons, \text{N}),
  • \vec{d} é o deslocamento (em metros, \text{m}),
  • W fica em joules ( \text{J}) porque 1\\ \text{N}\cdot\text{m}=1\\ \text{J}.

Passo 3

Vamos entender o produto escalar em componentes (isso é prático para fazer na prova): se
\vec{A}=(A_x\,\hat{i}+A_y\,\hat{j}+A_z\,\hat{k}) e \vec{B}=(B_x\,\hat{i}+B_y\,\hat{j}+B_z\,\hat{k}),
então
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z.
Outra forma (mais geométrica) é \vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos\theta, onde A e B são os módulos e \theta é o ângulo entre eles. Usaremos a forma por componentes porque já temos as componentes dadas.

Passo 4

Pegar as componentes dos vetores dados (peguei estes números do enunciado):
  • Para \vec{F}=(2{,}00\,\hat{i}-3{,}00\,\hat{j})\\ \text{N} temos F_x=2{,}00\\ \text{N} e F_y=-3{,}00\\ \text{N}. Não há componente em \hat{k}, então F_z=0.
  • Para \vec{d}=-4{,}00\,\hat{i}\\ \text{m} temos d_x=-4{,}00\\ \text{m}, d_y=0 e d_z=0.

Passo 5

Aplicar a fórmula do produto escalar em componentes:
W=\vec{F}\cdot\vec{d}=F_x d_x + F_y d_y + F_z d_z.
Substituindo os valores:
W=(2{,}00)(-4{,}00)+(-3{,}00)(0)+0\cdot0.
Calcule cada termo com cuidado (mostrando as contas que dá para fazer sem calculadora):
(2{,}00)(-4{,}00)=-8{,}00, \qquad (-3{,}00)(0)=0.
Portanto
W=-8{,}00+0+0=-8{,}00\\ \text{J}.

Passo 6

Interpretação do sinal (o que isso significa fisicamente): o trabalho deu -8{,}00\\ \text{J}, isto é, negativo. Isso acontece porque a componente da força na direção do deslocamento (eixo x) é positiva ( F_x=+2{,}00\\ \text{N}), enquanto o deslocamento está no sentido negativo do eixo x ( d_x=-4{,}00\\ \text{m}); portanto a força tem componente oposta ao movimento, fazendo trabalho negativo (ela retira energia do objeto). A componente F_y não contribuiu porque não houve deslocamento em y.

Passo 7

Cheque rápido e exemplo intuitivo: se o deslocamento fosse \vec{d}=+4{,}00\,\hat{i}\\ \text{m} (mesma magnitude, sentido contrário), teríamos
W=(2{,}00)(+4{,}00)=+8{,}00\\ \text{J},
ou seja, trabalho positivo — porque aí a força empurra no mesmo sentido do deslocamento. Isso ajuda a fixar a ideia: sinal do trabalho vem de “força na mesma direção que o deslocamento” (positivo) ou “força oposta ao deslocamento” (negativo).

Resposta

-8{,}00\\ \text{J}

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