Uma aleta está com a base a 100^{\circ} \mathrm{C} e a extremidade aleta permanece a 70^{\circ} \mathrm{C}. O meio está a 75^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de convecção h=60 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} K.
Materiais possíveis:
  • Alumínio k=204 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
  • Cobre k=398 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
  • Latão k=109 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Pede-se:
a) Determinar as perdas de calor pela aleta para cada material.
b) Calcular a eficiência da aleta e indicar qual material deve ser escolhido.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as quantidades listadas abaixo.
Dados fornecidos:
T_b = 100^\circ\mathrm{C}\quad(\text{temperatura da base})
T_L = 70^\circ\mathrm{C}\quad(\text{temperatura na extremidade da aleta})
T_\infty = 75^\circ\mathrm{C}\quad(\text{temperatura do meio})
h = 60\\ \mathrm{W/(m^2\\ K)}
Materiais possíveis (condutividades térmicas):
k_{\text{Al}}=204\\ \mathrm{W/(m\\ K)},\quad k_{\text{Cu}}=398\\ \mathrm{W/(m\\ K)},\quad k_{\text{Latão}}=109\\ \mathrm{W/(m\\ K)}.ã
Perguntas do enunciado:
a) Determinar as perdas de calor pela aleta para cada material.
b) Calcular a eficiência da aleta e indicar qual material deve ser escolhido.
Observação importante (apenas identificação do que é pedido): os dados acima estão claros. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Por que ainda não podemos calcular numericamente as perdas e as eficiências: quais grandezas geométricas faltam e por que são necessárias.
Para modelar a aleta reta (1D, estado estacionário, propriedades constantes) precisamos das grandezas geométricas que aparecem nas equações diferenciais de condução-convecção da aleta:
  • L = comprimento da aleta (distância da base até a ponta), em metros.
  • A = área da seção transversal da aleta (m²).
  • P = perímetro molhado da aleta (perímetro da seção que troca calor com o fluido), em metros.
  • A_s = área superficial total da aleta (exposta ao fluido). Para uma aleta reta homogênea sem buracos normalmente A_s = P\,L (se desprezarmos a pequena área da base).
Essas grandezas aparecem nas fórmulas através do parâmetro:
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA}}.
Sem conhecer L, P e A não é possível calcular m e nem a solução da equação diferencial, logo não é possível obter numericamente q (perda de calor) nem a eficiência \eta. Portanto precisamos dessas dimensões para um cálculo numérico.

Passo 3

Apresentação didática da teoria e das fórmulas que usamos (passo a passo, explicando cada variável).
  1. Definição conveniente de temperatura reduzida:
\theta(x)=T(x)-T_\infty.
Assim \theta_b=\theta(0)=T_b-T_\infty e \theta_L=\theta(L)=T_L-T_\infty.
  1. Equação diferencial para aleta reta (1D, propriedades constantes):
\dfrac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,
com
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA}}.
Aqui:
  • x é a coordenada ao longo da aleta (m),
  • k é a condutividade térmica do material (W/mK),
  • h é o coeficiente convectivo (W/m²K),
  • P é o perímetro molhado (m),
  • A é a área da seção transversal (m²).
  1. Solução geral da equação diferencial:
\theta(x)=C_1\operatorname{cosh}(m x)+C_2\operatorname{sinh}(m x).
Aplicando a condição na base \theta(0)=\theta_b C_1=\theta_b. Portanto
\theta(x)=\theta_b\operatorname{cosh}(m x)+C_2\operatorname{sinh}(m x).
  1. Condição na ponta (extremidade) com convecção:
    A condição de balanço de calor na ponta x=L é
-kA\dfrac{d\theta}{dx}\Big|_{x=L}=hP\,\theta(L).
Calculando \dfrac{d\theta}{dx}=m\theta_b\operatorname{sinh}(mx)+mC_2\operatorname{cosh}(mx) e aplicando x=L obtemos uma equação que permite eliminar C_2. Fazendo as manipulações algébricas padrão (substituir e isolar C_2) chega-se à expressão final para a perda total de calor pela aleta.
  1. Expressão prática para a transferência de calor da aleta (caso de ponta com convecção):
    A forma comumente usada e que resulta das manipulações é:
q_f = \sqrt{hPkA}\,\theta_b\\ \dfrac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
Explicando os termos:
  • q_f é a taxa de calor removida pela aleta (W).
  • \theta_b=T_b-T_\infty é o desvio térmico na base (K).
  • O fator \sqrt{hPkA} surge ao combinar a condutividade e a convecção; note que contém \sqrt{k}, então q_f cresce com k (mantendo as dimensões fixas).
  • Os termos hiperbólicos dependem de mL (produto do parâmetro da aleta pelo comprimento): isto contém toda a informação geométrica relativa ao comprimento e à razão P/A.
  1. Caso particular (ponta isolada, h_{ponta}=0) a expressão simplifica para:
q_f=\sqrt{hPkA}\,\theta_b\\ \operatorname{tanh}(mL).
Isto é util quando a ponta é muito bem isolada ou sua convecção é desprezível.
  1. Definição de eficiência da aleta:
    A eficiência é a razão entre o calor realmente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a aleta estivesse à temperatura da base:
\eta = \dfrac{q_f}{h A_s \theta_b},
onde A_s é a área superficial da aleta exposta ao fluido (normalmente A_s=P\,L para aleta longa uniforme). Note: essa é a definição mais usada de eficiência de aleta.
  1. Observação física qualitativa: mantendo a geometria fixa, materiais com maior k conduzem melhor e, em geral, aumentam q_f e \eta. Isso pode ser inferido porque q_f contém \sqrt{k} e o parâmetro m diminui com k (já que m=\sqrt{hP/(kA)}), mudando a forma da distribuição de temperatura. Mas o valor numérico depende da geometria via P, A e L.

Passo 4

Como aplicar as fórmulas passo a passo (sequência prática que você faria na prova) — sem números ainda, porque faltam dados geométricos.
  1. Calcule \theta_b:
\theta_b = T_b - T_\infty = 100^\circ\mathrm{C}-75^\circ\mathrm{C}=25\\ \mathrm{K}.
  1. Para cada material (cada k conhecido) e para a geometria dada (quando conhecida), calcule:
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA}}.
  1. Calcule mL (produto do parâmetro pelo comprimento).
  2. Use a fórmula
q_f = \sqrt{hPkA}\,\theta_b\\ \dfrac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}
para obter q_f (W) para cada material.
  1. Calcule a área superficial A_s=P\,L e então a eficiência
\eta=\dfrac{q_f}{hA_s\theta_b}=\dfrac{q_f}{hP L \theta_b}.
  1. Compare valores de \eta ou de q_f entre os materiais. O material a ser escolhido normalmente é o que maximiza q_f (maior remoção de calor) e/ou tem maior eficiência \eta, salvo restrições práticas (custo, peso, corrosão).

Passo 5

Motivo final do porquê não posso dar números e indicação qualitativa da escolha do material.
  • Não há como fornecer valores numéricos de q_f e \eta sem conhecer as dimensões geométricas necessárias: pelo menos L, P e A (ou informações equivalentes, por ex. espessura e largura de uma aleta retangular). Esses parâmetros entram em m e em A_s e são essenciais para qualquer cálculo numérico correto. Inventar valores produziria resultados que podem não corresponder ao seu problema real na prova — e pelas regras do enunciado eu não devo inventar figuras/dados.
  • Informação prática útil: se você tiver na prova a aleta descrita (por exemplo: aleta retangular com espessura t e largura b e comprimento L), então
A = t b,\quad P=2(b+t)\quad(\text{ou a expressão correta conforme a seção}),\quad A_s=P L,ãçã
e aí basta seguir os passos do Passo 4 para cada k.
  • Indicação qualitativa de escolha do material (quando só o objetivo é maximizar a transferência de calor, geometria fixa): dentre os três materiais fornecidos, o cobre tem a maior condutividade \left(k_{\text{Cu}}=398\\ \mathrm{W/(mK)}\right), seguido do alumínio e depois do latão. Mantida a mesma geometria, o cobre proporcionará a maior taxa de calor removida pela aleta e, em regra, a maior eficiência. Logo, qualitativamente, escolheria o cobre se o objetivo for maximizar perdas de calor pela aleta (ignorando custo e peso).

Resposta

a) Não é possível determinar numericamente as perdas de calor q_f para cada material porque faltam as dimensões geométricas da aleta: L (comprimento), P (perímetro molhado) e A (área da seção transversal).
b) Não é possível calcular numericamente a eficiência \eta sem L,P,A. Qualitativamente, mantendo a mesma geometria, o material com maior condutividade térmica — k=398\\ \mathrm{W/(mK)} (cobre) — fornece, em geral, maior q_f e maior eficiência, portanto o cobre seria a escolha recomendada.

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