Dado \operatorname{sen} x=\sqrt{2} / 2, calcule o valor da expressä A=\frac{\operatorname{sec} ^{2} x-1}{\operatorname{tg}^{2} x+1}.

Passo 1

O enunciado dá a informação
\operatorname{sen} x = \frac{\sqrt{2}}{2}
e pede para calcular a expressão
A=\frac{\operatorname{sec}^{2} x - 1}{\operatorname{tg}^{2} x + 1}.
Portanto, temos uma igualdade para \operatorname{sen} x e queremos o valor numérico de A.

Passo 2

Vamos recordar definições e uma identidade fundamental (vou explicar passo a passo como e por que funciona): definimos
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}.
A identidade pitagórica básica é
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,
que vem da relação entre os catetos e a hipotenusa no triângulo retângulo unitário. A partir dessas definições podemos provar a identidade
1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x.
Prova (passo a passo):
1+\tan^{2}x = 1+\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Cada passo: transformamos 1 em \frac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x} para somar frações, usamos \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, e obtemos 1/\cos^{2}x, que é \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Usando a identidade do passo anterior, observamos que
\operatorname{sec}^{2}x-1=\tan^{2}x.
Substituindo isso na expressão de A, obtemos
A=\frac{\tan^{2}x}{\tan^{2}x+1}.
Aqui apenas trocamos o numerador por algo equivalente para simplificar.

Passo 4

Agora simplificamos a fração explicando direitinho cada passo:
A=\frac{\tan^{2}x}{\tan^{2}x+1} =\frac{\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}}{\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}+1} =\frac{\dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}}{\dfrac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos^{2}x}} =\frac{\sin^{2}x}{\sin^{2}x+\cos^{2}x}.
Como já sabemos que \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, isso reduz para
A=\sin^{2}x.
Explicação: eu converti \tan^{2} para \sin^{2}/\cos^{2}, coloquei a soma sobre o mesmo denominador \cos^{2}x e cancelei esse denominador comum.

Passo 5

Agora uso o dado do enunciado \operatorname{sen} x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Como A=\sin^{2}x, basta elevar ao quadrado:
A=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Comentário amigo: repare que não precisamos saber o sinal de \cos x nem o quadrante de x; a expressão caiu em \sin^{2}x, que depende só de \sin x ao quadrado.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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