1. Uma aleta em forma de bastão muito longo de cobre (\mathrm{k}=398 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}) com 5 mm de diâmetro, tem uma de suas extremidades mantida a 100^{\circ} \mathrm{C}. A superfície do bastão está exposta ao ar ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.
    a) Determine a distribuição de temperaturas ao longo do bastão;
    b) determine a perda de calor partindo da equação da Lei de Fourier;
    c) determine a perda de calor partindo da equação geral para o caso de aleta longa;
    d) determine a perda de calor na ausência de aletas.

Passo 1

O enunciado e os dados importantes (já usando os números que nos deram):
  • Material: cobre com condutividade térmica k=398\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}.
  • Geometria: bastão cilíndrico muito longo com diâmetro D=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}. Logo o raio é r=\dfrac{D}{2}=0,0025\\ \mathrm{m}.
  • Extremidade (base) em x=0 mantida a T_b=100^\circ\mathrm{C}.
  • Ambiente: temperatura T_\infty=25^\circ\mathrm{C}.
  • Convecção na superfície lateral com coeficiente h=100\\ \mathrm{W}/\mathrm{m^2K}.
  • O bastão é “muito longo” (aproximação de aleta longa/infinita): a temperatura tende a T_\infty quando x\to\infty.
O que se pede:
a) Determinar a distribuição de temperatura ao longo do bastão T(x).
b) Determinar a perda de calor partindo da equação de Fourier (isto é, pelo fluxo conduzido na raiz/base do bastão).
c) Determinar a perda de calor usando a fórmula geral para aletas longas (a solução clássica que dá o mesmo resultado).
d) Determinar a perda de calor na ausência de aletas (comparar com o caso com aleta).
Observações úteis que vou usar (explicarei cada uma nos passos seguintes): perímetro lateral do cilindro P, área de seção transversal A_c, definição de m para aleta longa, e relação entre o fluxo na base e a derivada de temperatura (Lei de Fourier).

Passo 2

Equação diferencial de balanço de energia e definição de m.
Explicação física e montagem do modelo (bem devagar): consideramos um pequeno elemento de comprimento \mathrm{d}x do bastão. Em regime permanente e desprezando geração interna, o balanço entre condução entrando e saindo e a perda por convecção na periferia leva à equação diferencial linear
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(k A_c \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\right) - h P (T-T_\infty)=0,
onde:
  • A_c é a área da seção reta do cilindro,
  • P é o perímetro da superfície lateral (por unidade de comprimento),
  • hP(T-T_\infty) é a taxa de perda por convecção por unidade de comprimento.
Como k, A_c, P são constantes ao longo do bastão, a equação simplifica para
k A_c \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} - h P (T-T_\infty)=0.
Definimos \theta(x)=T(x)-T_\infty. Substituindo e dividindo por kA_c obtemos
\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}x^2} - m^2 \theta = 0,
com
m^2=\frac{h P}{k A_c}.
Agora calculamos P e A_c para o cilindro:
P = 2\pi r = 2\pi(0,0025)\\ \mathrm{m}=2\pi\cdot0,0025,
A_c = \pi r^2 = \pi(0,0025)^2.
Vamos avaliar numericamente m. Primeiro calcular P e A_c:
P=2\pi\cdot0,0025\approx 0,015708\\ \mathrm{m},
A_c=\pi\cdot(0,0025)^2=\pi\cdot6{,}25\times10^{-6}\approx 1{,}9635\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
Agora m:
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}=\sqrt{\dfrac{100\cdot 0,015708}{398\cdot 1{,}9635\times10^{-5}}}.
Calulando:
\dfrac{100\cdot 0,015708}{398\cdot 1{,}9635\times10^{-5}}\approx 201{,}01,
portanto
m\approx\sqrt{201{,}01}\approx 14{,}18\\ \mathrm{m}^{-1}.
Interpretação: m tem dimensão 1/\mathrm{m} e controla o decaimento exponencial da temperatura ao longo da aleta.

Passo 3

Solução da equação diferencial e distribuição de temperatura T(x).
A equação \dfrac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}x^2}-m^2\theta=0 tem solução geral
\theta(x)=C_1 e^{m x}+C_2 e^{-m x}.
Condições de contorno para a aleta longa infinita:
  • na base x=0: \theta(0)=\theta_b=T_b-T_\infty=100-25=75^\circ\mathrm{C};
  • à medida que x\to\infty: \theta(x)\to 0 (temperatura tende à do ambiente).
A condição no infinito força C_1=0. Usando \theta(0)=C_2=75, obtemos
\theta(x)=75\,e^{-m x}.
Voltando para T(x),
\boxed{\,T(x)=T_\infty + (T_b-T_\infty)e^{-m x} \,}
ou numericamente, com m\approx14{,}18\\ \mathrm{m}^{-1},
\boxed{\,T(x)=25^\circ\mathrm{C}+75^\circ\mathrm{C}\,e^{-14{,}18\,x}\,.}
Comentário prático: isso significa que a temperatura decai exponencialmente; a escala de decaimento característica é 1/m\approx 0{,}0705\\ \mathrm{m}=7{,}05\\ \mathrm{cm}. Ou seja, em poucos centímetros a temperatura já está quase em 25^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Perda de calor pelo bastão (pela equação de Fourier): fluxo na base.
Explicando: a potência retirada pela aleta é igual ao fluxo condutivo que chega à base (x=0). Pela Lei de Fourier unidimensional,
q_f = -k A_c \left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0}.
Da solução \theta(x)=75 e^{-m x} temos \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}=-75 m e^{-m x}. Assim, em x=0,
\left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\right|_{0} = -75 m.
Logo
q_f = -k A_c (-75 m)=k A_c m \cdot 75.
Podemos avaliar numericamente usando os valores já calculados ( k=398, A_c\approx1{,}9635\times10^{-5}, m\approx14{,}18, \theta_b=75):
Primeiro k A_c m:
k A_c m \approx 398 \cdot 1{,}9635\times10^{-5}\cdot 14{,}18 \approx 0{,}1108\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
Multiplicando por 75^\circ\mathrm{C}:
q_f \approx 0{,}1108\cdot 75 \approx 8{,}31\\ \mathrm{W}.
Portanto, pela equação de Fourier, a aleta remove aproximadamente \boxed{8{,}31\\ \mathrm{W}} da base.

Passo 5

Perda de calor usando a fórmula geral para aletas longas (verificação).
A expressão conhecida para aletas muito longas (comprimento tendendo ao infinito) dá diretamente:
q_f = \sqrt{h P k A_c}\,(T_b-T_\infty).
Mostramos que isso é idêntico à expressão anterior porque k A_c m = \sqrt{h P k A_c}, já que m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}.
Vamos calcular numericamente para verificar consistência:
\sqrt{h P k A_c} = \sqrt{100\cdot 0,015708\cdot 398\cdot 1{,}9635\times10^{-5}}\approx 0{,}1108,
e então
q_f = 0{,}1108\cdot 75 \approx 8{,}31\\ \mathrm{W}.
Conclusão: a fórmula geral para aleta longa dá o mesmo resultado numérico, \boxed{8{,}31\\ \mathrm{W}}.

Passo 6

Perda de calor na ausência de aletas (caso de referência).
Interpretação e suposição: sem aleta significa que não há superfície alongada para aumentar a troca; usualmente comparam-se com o caso em que só a face da base (a seção transversal circular) troca calor por convecção com o ar. Assim, a perda seria dada por convecção da área da base:
q_{\text{sem aleta}} = h A_c (T_b-T_\infty).
Usando h=100, A_c\approx 1{,}9635\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2 e \theta_b=75^\circ\mathrm{C}:
q_{\text{sem aleta}} = 100\cdot 1{,}9635\times10^{-5}\cdot 75 \approx 0{,}1473\\ \mathrm{W}.
Interpretação: sem aleta a perda é cerca de \boxed{0{,}147\\ \mathrm{W}}, muito menor que com a aleta (≈ 8{,}31\\ \mathrm{W}); ou seja, a aleta aumenta fortemente a dissipação térmica porque amplia a área e cria condução+convecção ao longo de sua extensão.

Passo 7

Resumo numérico final (valores arredondados de forma prática) e pequena motivação final.
  • m\approx 14{,}18\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Distribuição de temperatura: T(x)=25^\circ\mathrm{C}+75^\circ\mathrm{C}\,e^{-14{,}18\,x}.
  • Perda de calor com aleta (pela Fourier / fórmula de aleta longa): q_f\approx 8{,}31\\ \mathrm{W}.
  • Perda sem aleta (apenas a face da base trocando por convecção): q_{\text{sem aleta}}\approx 0{,}147\\ \mathrm{W}.
Sugestão amiga: na prova, memorize a forma da equação diferencial da aleta, a definição de m em termos de h,P,k,A_c, e as duas fórmulas práticas para aletas infinitas: T(x)=T_\infty+(T_b-T_\infty)e^{-mx} e q_f=\sqrt{hPkA_c}(T_b-T_\infty). Isso resolve muitos exercícios do tipo bem rápido.

Resposta

T(x)=25^\circ\mathrm{C}+75^\circ\mathrm{C}\,e^{-14{,}18\,x}
q_{\text{pela Fourier}} \approx 8{,}31\\ \mathrm{W}
q_{\text{fórmula aleta longa}} \approx 8{,}31\\ \mathrm{W}ó
q_{\text{sem aleta}} \approx 0{,}147\\ \mathrm{W}

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