A pressão no nariz de um avião, viajando em uma velocidade baixa é conhecida e relacionada com sua velocidade por p=\frac{1}{2} \rho V^{2}, em que \rho é a massa específica do ar. Determine a velocidade do avião viajando perto da superfície da terra se um manômetro do tipo tubo em " U "lê 6 cm de água

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
  • Informação do enunciado:
    • A pressão no nariz do avião é relacionada com a velocidade por \displaystyle p=\frac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V^{2}, onde \rho_{\text{ar}} é a massa específica do ar e V é a velocidade do avião.
    • Um manômetro em “U” lê uma coluna de água de altura 6\\ \text{cm}.
  • O que é pedido:
    • Determinar a velocidade do avião perto da superfície da Terra.
  • Valores que vou usar (valores padrão próximos da superfície da Terra; estou pegando estes valores para poder calcular):
    • altura do fluido no manômetro: \displaystyle h=6\\ \text{cm}=0,06\\ \text{m},
    • massa específica da água: \displaystyle \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á (valor padrão),
    • massa específica do ar: vou usar \displaystyle \rho_{\text{ar}}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor aproximado ao nível do mar; facilita contas sem calculadora),
    • aceleração da gravidade: \displaystyle g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Entendendo como o manômetro traduz uma leitura de altura em pressão (a parte do manômetro que importa).
  • Um manômetro em “U” mede uma diferença de pressão \Delta p entre os dois ramos conectados a pontos diferentes do fluido. Para um líquido incompressível e pequeno desnível vertical, a relação é
\Delta p=\rho_{\text{fluido}}\,g\,h,
onde:
  • \Delta p é a diferença de pressão (em pascal, \mathrm{Pa}),
  • \rho_{\text{fluido}} é a massa específica do líquido no manômetro (aqui água),
  • g é a gravidade,
  • h é a diferença de alturas entre as colunas no manômetro.
  • No nosso caso a leitura de 6\\ \text{cm} de água significa que a diferença de pressão entre o ponto estático de referência e o ponto no nariz (estagnação) é
\Delta p=\rho_{\text{água}}\,g\,h.á

Passo 3

Relacionando a pressão medida pelo manômetro com a fórmula dada \displaystyle p=\frac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V^{2}.
  • Pela física do escoamento (Bernoulli aplicado entre o escoamento livre e o ponto de estagnação no nariz), a diferença de pressão entre pressão de estagnação e pressão estática é exatamente a chamada pressão dinâmica \displaystyle \frac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V^{2}. O enunciado já dá isso na forma \displaystyle p=\frac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V^{2}.
  • O manômetro mede essa diferença, logo podemos igualar:
\frac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V^{2}=\rho_{\text{água}}\,g\,h.á

Passo 4

Isolando V algebricamente.
  • A partir de
\frac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V^{2}=\rho_{\text{água}}\,g\,h,á
multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por \rho_{\text{ar}} obtém-se
V^{2}=\frac{2\,\rho_{\text{água}}\,g\,h}{\rho_{\text{ar}}}.á
  • Tomando a raiz quadrada,
V=\sqrt{\frac{2\,\rho_{\text{água}}\,g\,h}{\rho_{\text{ar}}}}.á

Passo 5

Substituindo os valores e calculando passo a passo (contas feitas de forma que dê para acompanhar sem calculadora).
  • Primeiro calcule a pressão indicada pelo manômetro:
\Delta p=\rho_{\text{água}}\,g\,h =1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}06.á
  • Calcule 9{,}81\cdot 0{,}06. Uma forma mental: 9{,}81\cdot 6=58{,}86 e dividir por 100 0{,}5886. Então
\Delta p=1000\cdot 0{,}5886=588{,}6\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Continuando a resolver para V.
  • A equação é \displaystyle \frac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V^{2}=588{,}6. Então
V^{2}=\frac{2\cdot 588{,}6}{\rho_{\text{ar}}}=\frac{1177{,}2}{1{,}2}.
  • Dividindo: \displaystyle \frac{1177{,}2}{1{,}2}=981{,}0. Logo
V=\sqrt{981{,}0}.
  • Aproximação da raiz quadrada sem calculadora: 31^{2}=961 e 32^{2}=1024, então \sqrt{981} está perto de 31. Refinando:
    • 31{,}3^{2}=979{,}69,
    • 31{,}32^{2}\approx 980{,}94,
    • 31{,}33^{2}\approx 981{,}63.
      Assim, \displaystyle V\approx 31{,}32\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Converter para uma unidade mais familiar (km/h) e comentar o resultado.
  • Converter metros por segundo para quilômetros por hora: multiplicar por 3{,}6.
V\approx 31{,}32\cdot 3{,}6\approx 112{,}8\\ \mathrm{km/h}.
  • Interpretação curta e incentivo: o resultado mostra que, com uma coluna de água de apenas 6\\ \text{cm}, a pressão dinâmica corresponde a uma velocidade de cerca de 31\\ \mathrm{m/s} — isso é algo como um avião em velocidade baixa/decorrida de aproximação. Você mandou bem pedindo passo a passo; essa é a conta que farão na prova.

Resposta

V\approx 31{,}3\\ \mathrm{m/s}
V\approx 112{,}8\\ \mathrm{km/h}

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