(2,00) Uma mangueira de jardim com um bico é usada para encher um balde de 40 litros. O diâmetro interno da mangueira é de 2 cm e reduz para 0,8 \mathrm{~cm} na saída do bico. Se leva 50 s para encher o balde com água, determine:
(a) a vazão de água através da mangueira.
(b) a velocidade média da água na mangueira e na saída do bico.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a vazão de água através da mangueira;
  • (b) a velocidade média da água na mangueira e na saída do bico.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Volume do balde: 40\\ \text{L}.
  • Tempo para encher: 50\\ \text{s}.
  • Diâmetro interno da mangueira: d_1=2,00\\ \text{cm}.
  • Diâmetro na saída do bico: d_2=0,80\\ \text{cm}.
Observações de unidade que vamos usar:
  • Converter litros para metros cúbicos: 1\\ \text{L}=10^{-3}\\ \text{m}^3.
  • Converter centímetros para metros: 1\\ \text{cm}=10^{-2}\\ \text{m}.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica média \,Q, que é definida como volume dividido pelo tempo. Explicando a fórmula: \,Q=\dfrac{V}{t}, onde \,V é o volume total escoado e \,t é o tempo gasto.
Converter o volume para metros cúbicos:
V = 40\\ \text{L} = 40\times10^{-3}\\ \text{m}^3 = 0,040\\ \text{m}^3.
Aplicando a fórmula da vazão:
Q=\dfrac{V}{t}=\dfrac{0,040\\ \text{m}^3}{50\\ \text{s}}=0,0008\\ \text{m}^3\!/\text{s}.
Também é útil expressar em litros por segundo:
0,0008\\ \text{m}^3\!/\text{s}=0,0008\times1000\\ \text{L/s}=0,8\\ \text{L/s}.

Passo 3

Para achar as velocidades usamos a equação da continuidade para um fluido incompressível em regime estacionário: \,Q=A\,v, onde \,A é a área da seção transversal e \,v é a velocidade média nessa seção. Assim \,v=\dfrac{Q}{A}.
Calcular as áreas das seções circulares a partir dos diâmetros. A fórmula da área de um círculo é \,A=\dfrac{\pi d^2}{4}.
Converter os diâmetros para metros:
d_1=2,00\\ \text{cm}=0,020\\ \text{m},\qquad d_2=0,80\\ \text{cm}=0,008\\ \text{m}.
Calcular A_1 (mangueira) e A_2 (bico):
A_1=\dfrac{\pi d_1^2}{4}=\dfrac{\pi (0,020)^2}{4}=\pi\cdot0,0001=0,0001\pi\\ \text{m}^2\approx0,000314159\\ \text{m}^2.
A_2=\dfrac{\pi d_2^2}{4}=\dfrac{\pi (0,008)^2}{4}=\pi\cdot0,000016=0,000016\pi\\ \text{m}^2\approx0,0000502655\\ \text{m}^2.

Passo 4

Calcular as velocidades médias usando \,v=\dfrac{Q}{A}.
Velocidade na mangueira (seção maior):
v_1=\dfrac{Q}{A_1}=\dfrac{0,0008\\ \text{m}^3\!/\text{s}}{0,0001\pi\\ \text{m}^2} =\dfrac{0,0008}{0,000314159\cdots}\\ \text{m/s}\approx2,546\\ \text{m/s}.
Velocidade na saída do bico (seção menor):
v_2=\dfrac{Q}{A_2}=\dfrac{0,0008\\ \text{m}^3\!/\text{s}}{0,000016\pi\\ \text{m}^2} =\dfrac{0,0008}{0,0000502655\cdots}\\ \text{m/s}\approx15,915\\ \text{m/s}.
Arredondando de forma prática para a prova (mantendo algarismos significativos compatíveis com os dados):
v_1\approx2,55\\ \text{m/s},\qquad v_2\approx15,9\\ \text{m/s}.

Passo 5

Comentário rápido e intuição (útil pra prova): como as áreas seguem A\propto d^2, a razão das velocidades é inversa da razão das áreas. Aqui
\frac{v_2}{v_1}=\frac{A_1}{A_2}=\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2=\left(\frac{2,00}{0,80}\right)^2=(2,5)^2=6,25,
logo v_2=6,25\,v_1. Isso dá uma checagem rápida dos cálculos numéricos.

Resposta

(a) Q=0,0008\\ \mathrm{m^3/s}=0,8\\ \mathrm{L/s}
(b) v_{\text{mangueira}}\approx2,55\\ \mathrm{m/s}
v_{\text{bico}}\approx15,9\\ \mathrm{m/s}

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