Uma aleta retangular de alumínio ( k=200 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) tem espessura t=2 \mathrm{~mm}, largura \mathrm{W}=100 \mathrm{~mm} e comprimento \mathrm{L}=20 \mathrm{~mm}. A temperatura na base é 100^{\circ} \mathrm{C} e o ambiente está a 25^{\circ} \mathrm{C} com \mathrm{h}=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. K. Considerando a ponta adiabática, determine a taxa de transferência de calor pela aleta e sua eficiência.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados ele dá.
Pedido: determinar a taxa de transferência de calor pela aleta e a eficiência da aleta, considerando a ponta adiabática.
Dados fornecidos:
condutividade térmica do alumínio: k=200\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
espessura: t=2\\ \mathrm{mm}=0,002\\ \mathrm{m},
largura (profundidade da aleta): W=100\\ \mathrm{mm}=0,100\\ \mathrm{m},
comprimento da aleta: L=20\\ \mathrm{mm}=0,020\\ \mathrm{m},
temperatura na base: T_b=100^\circ\mathrm{C},
temperatura do ambiente: T_\infty=25^\circ\mathrm{C},
coeficiente de convecção: h=50\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Condição na ponta: ponta adiabática (isto é, sem perda de calor na extremidade: \dfrac{dT}{dx}\Big|_{x=L}=0).
Passo 2
Conceito físico e equação diferencial da aleta (aula rápida e intuitiva).
Modelagem 1D da temperatura na aleta: para uma aleta de seção transversal constante e propriedades constantes, a variação da temperatura no eixo x satisfaz a equação diferencial linear
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,
onde \theta(x)=T(x)-T_\infty é o excesso de temperatura sobre o ambiente e
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Aqui:
A_c é a área da seção transversal da aleta (área por onde flui o calor ao longo da aleta),
P é o perímetro molhado da seção transversal (comprimento do contorno exposto à convecção),
h é o coeficiente convectivo e k a condutividade.
Solução geral da equação: \theta(x)=C_1\operatorname{cosh}(mx)+C_2\operatorname{sinh}(mx).
Condições de contorno:
na base (x=0): T(0)=T_b implica \theta(0)=T_b-T_\infty,
na ponta adiabática (x=L): \dfrac{d\theta}{dx}\big|_{x=L}=0.
Aplicando as condições e calculando o fluxo na base (q_f=-kA_c\dfrac{dT}{dx}\big|_{x=0}), obtém-se a expressão padrão para aleta de seção constante com ponta adiabática:
Comentário final e interpretação curta (amanhã você lembra disso na prova).
A aleta é curta e relativamente larga, então ela extrai quase toda a energia que teria se estivesse inteira à temperatura da base — por isso a eficiência é alta (≈ 96,6%). A expressão com \operatorname{tanh}(mL) mostra que, para aletas longas (mL grande), \operatorname{tanh}(mL)\to 1 e q_f tende ao valor limite \sqrt{hPkA_c}(T_b-T_\infty); para aletas muito curtas (mL pequeno), \operatorname{tanh}(mL)\approx mL e q_f escala aproximadamente com o comprimento.
Você mandou bem pedindo passo a passo — calma que essa fórmula é o principal que normalmente aparece na prova: lembrar de calcular A_c, P, m, e aplicar \operatorname{tanh}(mL).