Uma aleta retangular de alumínio ( k=200 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) tem espessura t=2 \mathrm{~mm}, largura \mathrm{W}=100 \mathrm{~mm} e comprimento \mathrm{L}=20 \mathrm{~mm}. A temperatura na base é 100^{\circ} \mathrm{C} e o ambiente está a 25^{\circ} \mathrm{C} com \mathrm{h}=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. K. Considerando a ponta adiabática, determine a taxa de transferência de calor pela aleta e sua eficiência.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados ele dá.
  • Pedido: determinar a taxa de transferência de calor pela aleta e a eficiência da aleta, considerando a ponta adiabática.
  • Dados fornecidos:
    • condutividade térmica do alumínio: k=200\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
    • espessura: t=2\\ \mathrm{mm}=0,002\\ \mathrm{m},
    • largura (profundidade da aleta): W=100\\ \mathrm{mm}=0,100\\ \mathrm{m},
    • comprimento da aleta: L=20\\ \mathrm{mm}=0,020\\ \mathrm{m},
    • temperatura na base: T_b=100^\circ\mathrm{C},
    • temperatura do ambiente: T_\infty=25^\circ\mathrm{C},
    • coeficiente de convecção: h=50\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Condição na ponta: ponta adiabática (isto é, sem perda de calor na extremidade: \dfrac{dT}{dx}\Big|_{x=L}=0).

Passo 2

Conceito físico e equação diferencial da aleta (aula rápida e intuitiva).
  • Modelagem 1D da temperatura na aleta: para uma aleta de seção transversal constante e propriedades constantes, a variação da temperatura no eixo x satisfaz a equação diferencial linear
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,
onde \theta(x)=T(x)-T_\infty é o excesso de temperatura sobre o ambiente e
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
  • Aqui:
    • A_c é a área da seção transversal da aleta (área por onde flui o calor ao longo da aleta),
    • P é o perímetro molhado da seção transversal (comprimento do contorno exposto à convecção),
    • h é o coeficiente convectivo e k a condutividade.
  • Solução geral da equação: \theta(x)=C_1\operatorname{cosh}(mx)+C_2\operatorname{sinh}(mx).
  • Condições de contorno:
    • na base ( x=0): T(0)=T_b implica \theta(0)=T_b-T_\infty,
    • na ponta adiabática ( x=L): \dfrac{d\theta}{dx}\big|_{x=L}=0.
  • Aplicando as condições e calculando o fluxo na base ( q_f=-kA_c\dfrac{dT}{dx}\big|_{x=0}), obtém-se a expressão padrão para aleta de seção constante com ponta adiabática:
q_f = \sqrt{hPkA_c}\,(T_b-T_\infty)\operatorname{tanh}(mL).
  • A eficiência da aleta é definida por
\eta=\frac{q_f}{q_{\max}},
onde q_{\max} é a taxa de calor se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura da base, isto é
q_{\max}=h\,P\,L\,(T_b-T_\infty).

Passo 3

Determinar A_c e P a partir da geometria (com explicação).
  • A seção transversal da aleta é retangular com lados t e W, logo a área
A_c = t W.
  • O perímetro molhado (contorno exposto à convecção) para a seção retangular é
P = 2\,(W + t).
  • Substituindo os números (mostrando cada passo):
    • A_c = 0,002\\ \mathrm{m}\times 0,100\\ \mathrm{m}=0,0002\\ \mathrm{m^2}.
    • P = 2\,(0,100\\ \mathrm{m}+0,002\\ \mathrm{m})=2\times 0,102\\ \mathrm{m}=0,204\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular m e o produto adimensional mL.
  • Fórmula:
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
  • Substituindo valores:
    • primeiro calcule o numerador hP = 50\\ \mathrm{W/(m^2K)}\times 0,204\\ \mathrm{m}=10,2\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • calcule o denominador kA_c = 200\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\times 0,0002\\ \mathrm{m^2}=0,04\\ \mathrm{W\cdot m/K}.
    • razão: \dfrac{hP}{kA_c}=\dfrac{10,2}{0,04}=255.
    • portanto
m=\sqrt{255}\approx 15,97\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Produto adimensional:
mL = 15,97\\ \mathrm{m^{-1}}\times 0,020\\ \mathrm{m}\approx 0,319.

Passo 5

Calcular o fator \sqrt{hPkA_c} que aparece em q_f.
  • Primeiro calcule hP e kA_c (já feitos no Passo 4): hP=10,2, kA_c=0,04.
  • Produto hP\cdot kA_c = 10,2\times 0,04 = 0,408.
  • Logo
\sqrt{hPkA_c}=\sqrt{0,408}\approx 0,639\\ \mathrm{W/K}.
  • Observação didática: essa quantidade tem unidade de W/K porque quando multiplicada por (T_b-T_\infty) dá W.

Passo 6

Avaliar \operatorname{tanh}(mL). (Vou mostrar uma aproximação simples válida para mL pequeno.)
  • Como mL\approx 0,319 (valor relativamente pequeno), pode-se usar a expansão em série para \operatorname{tanh}(x):
\operatorname{tanh} x \approx x - \frac{x^3}{3}\quad\text{(para \(x\) pequeno)}.
  • Calcule x^3: x=mL\approx 0,319\Rightarrow x^3\approx 0,0326.
  • Então
\operatorname{tanh}(mL)\approx 0,319 - \frac{0,0326}{3}\approx 0,319 - 0,0109\approx 0,308.
  • Portanto usaremos \operatorname{tanh}(mL)\approx 0,308. (Isso é bastante preciso para x\approx 0,3.)

Passo 7

Calcular a taxa de calor q_f usando a expressão da aleta.
  • Fórmula:
q_f = \sqrt{hPkA_c}\,(T_b-T_\infty)\operatorname{tanh}(mL).
  • Substituindo números:
    • \sqrt{hPkA_c}\approx 0,639\\ \mathrm{W/K} (do Passo 5),
    • (T_b-T_\infty)=100-25=75\\ \mathrm{K},
    • \operatorname{tanh}(mL)\approx 0,308.
  • Multiplicando passo a passo:
    • 0,639\times 75 \approx 47,925\\ \mathrm{W},
    • 47,925\times 0,308 \approx 14,78\\ \mathrm{W}.
  • Resultado:
q_f \approx 14,8\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Calcular a eficiência da aleta \eta.
  • Lembrando:
q_{\max}=h\,P\,L\,(T_b-T_\infty).
  • Calcule q_{\max}:
    • P\,L = 0,204\\ \mathrm{m}\times 0,020\\ \mathrm{m}=0,00408\\ \mathrm{m^2} (área de superfície da aleta),
    • hP L = 50\times 0,00408 = 0,204\\ \mathrm{W/(K)},
    • q_{\max}=0,204\times 75 = 15,3\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência:
\eta=\frac{q_f}{q_{\max}}=\frac{14,78}{15,3}\approx 0,966.
  • Em porcentagem:
\eta\approx 96,6\%.

Passo 9

Comentário final e interpretação curta (amanhã você lembra disso na prova).
  • A aleta é curta e relativamente larga, então ela extrai quase toda a energia que teria se estivesse inteira à temperatura da base — por isso a eficiência é alta (≈ 96,6%). A expressão com \operatorname{tanh}(mL) mostra que, para aletas longas (mL grande), \operatorname{tanh}(mL)\to 1 e q_f tende ao valor limite \sqrt{hPkA_c}(T_b-T_\infty); para aletas muito curtas (mL pequeno), \operatorname{tanh}(mL)\approx mL e q_f escala aproximadamente com o comprimento.
  • Você mandou bem pedindo passo a passo — calma que essa fórmula é o principal que normalmente aparece na prova: lembrar de calcular A_c, P, m, e aplicar \operatorname{tanh}(mL).

Resposta

q_f \approx 14,8\\ \mathrm{W}
\eta \approx 0,966 \;(\text{ou }96{,}6\%)

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