Um componente eletrônico dissipa calor através de uma matriz de aletas de pinos de cobre (
) com diâmetro
e comprimento
. Se
, qual o aumento percentual na transferência de calor em comparação com a área da base nua (sem aleta)? Considere a ponta com convecção.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (vou escrevê-los em forma numérica para ficar claro o que temos):
O que se pede: calcular o aumento percentual na transferência de calor devido à presença de uma aleta (pino cilíndrico) em comparação com a mesma área da base nua (sem aleta).
Interpretação / hipótese necessária (como o enunciado não especifica a área “da base nua”): comparar por pino, tomando como área da base nua a área projetada do pino sobre a base, isto é a área circular de diâmetro ,
Interpretação / hipótese necessária (como o enunciado não especifica a área “da base nua”): comparar por pino, tomando como área da base nua a área projetada do pino sobre a base, isto é a área circular de diâmetro
Também foi pedido para considerar convecção na ponta do pino (ou seja, condição convectiva no extremo livre da aleta). A resolução seguirá essa interpretação.
Passo 2
Modelo físico e fórmulas principais — explicando devagar:
- A aleta é um pino cilíndrico de secção constante. O equilíbrio da temperatura ao longo da aleta leva à equação diferencial do tipo
, onde e é o parâmetro característico da aleta dado por
- Aqui
é o perímetro da seção transversal do pino, e é a área da secção transversal. Para um cilindro de diâmetro ,
- Observe que
. Assim simplifica-se para
Explicação física:
mede a razão entre a habilidade do fluxo convectivo de retirar calor e a habilidade do metal conduzir calor ao longo da aleta; quanto maior
, mais rápida decai a influência térmica ao longo do comprimento.
Passo 3
Fórmula usada para a transferência de calor por uma aleta cilíndrica com convecção na ponta:
- A expressão padrão (obtida ao resolver a equação diferencial com a condição convectiva na ponta) para o calor retirado pela aleta é
onde
é a diferença de temperatura entre a base da aleta e o fluido ambiente. Nesta expressão:
-
tem unidade de W/K e fornece a escala de calor removido pela aleta; - o fator fracionário (a razão de combinações de
e ) incorpora o efeito do comprimento finito e da convecção na ponta. - A transferência de calor da área nua correspondente (a área circular do pino) é simplesmente a convecção direta dessa área:
Para comparar não precisamos conhecer
explicitamente porque ele cancela ao calcular razão/percentual.
Passo 4
Calcular as grandezas geométricas numéricas:
e a área projetada (base nua) é a mesma que
para o nosso critério:
Passo 5
Calcular
e termos auxiliares:
Produto adimensional
:
Também será útil o quociente
Passo 6
Calcular o prefator
numérico:
portanto
Passo 7
Avaliar o fator hiperbólico da fórmula da aleta:
calcule e
com
:
calcule
Agora o numerador e denominador do fator:
Razão:
Portanto o calor retirado por uma aleta (por unidade de
) é
Passo 8
Calcular o calor da área nua (sem aleta) por pino:
Passo 9
Calcular aumento percentual:
- razão entre as potências:
- aumento percentual (ou seja
):
Passo 10
Interpretação física e observações práticas (rápida):
- Resultado: cada pino aumenta a remoção de calor em cerca de
vezes em relação à mesma pequena área nua, ou um aumento de cerca de . Isso acontece porque a aleta aumenta enormemente a área efetiva de troca (superfície lateral longa) e o cobre tem alta condutividade, permitindo que calor chegue fácil da base até a ponta. - Atenção prática: esse cálculo foi feito por pino, assumindo que o calor que entra na aleta vem da base sem perdas adicionais e que as aletas não se atrapalham (isto é, estão espaçadas o suficiente para não reduzir a convecção entre si). Em uma matriz real, o espaçamento entre pinos, resistência térmica da base e interação convectiva entre pinos podem reduzir a eficiência global; ainda assim a ordem de ganho é bem grande para pinos longos e condutores como cobre.
- Força motivadora: a matemática mostra que pequenas aletas cilíndricas bem condutoras podem multiplicar muito a troca de calor — por isso heat sinks com muitos pinos funcionam tão bem. Você está indo bem — decisões de modelagem (como a escolha da área de comparação) são parte do processo em provas; declare sempre a hipótese como foi feito aqui.