Um componente eletrônico dissipa calor através de uma matriz de aletas de pinos de cobre ( \mathrm{k}=380 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) com diâmetro \mathrm{D}=3 \mathrm{~mm} e comprimento \mathrm{L}=30 \mathrm{~mm}. Se \mathrm{h}=100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, qual o aumento percentual na transferência de calor em comparação com a área da base nua (sem aleta)? Considere a ponta com convecção.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou escrevê-los em forma numérica para ficar claro o que temos):
k=380\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\qquad D=3\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}, \qquad L=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m},\qquad h=100\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O que se pede: calcular o aumento percentual na transferência de calor devido à presença de uma aleta (pino cilíndrico) em comparação com a mesma área da base nua (sem aleta).
Interpretação / hipótese necessária (como o enunciado não especifica a área “da base nua”): comparar por pino, tomando como área da base nua a área projetada do pino sobre a base, isto é a área circular de diâmetro D,
A_p=\frac{\pi D^2}{4}.
Também foi pedido para considerar convecção na ponta do pino (ou seja, condição convectiva no extremo livre da aleta). A resolução seguirá essa interpretação.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas principais — explicando devagar:
  • A aleta é um pino cilíndrico de secção constante. O equilíbrio da temperatura ao longo da aleta leva à equação diferencial do tipo \dfrac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}x^2}-m^2\theta=0, onde \theta(x)=T(x)-T_\infty e m é o parâmetro característico da aleta dado por
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
  • Aqui P é o perímetro da seção transversal do pino, e A_c é a área da secção transversal. Para um cilindro de diâmetro D,
P=\pi D,\qquad A_c=\frac{\pi D^2}{4}.
  • Observe que \dfrac{P}{A_c}=\dfrac{\pi D}{\pi D^2/4}=\dfrac{4}{D}. Assim simplifica-se m para
m=2\sqrt{\dfrac{h}{kD}}.
Explicação física: m mede a razão entre a habilidade do fluxo convectivo de retirar calor e a habilidade do metal conduzir calor ao longo da aleta; quanto maior m, mais rápida decai a influência térmica ao longo do comprimento.

Passo 3

Fórmula usada para a transferência de calor por uma aleta cilíndrica com convecção na ponta:
  • A expressão padrão (obtida ao resolver a equação diferencial com a condição convectiva na ponta) para o calor retirado pela aleta é
q_f=\sqrt{hPkA_c}\,\theta_b\; \frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)} {\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)},
onde \theta_b=T_b-T_\infty é a diferença de temperatura entre a base da aleta e o fluido ambiente. Nesta expressão:
  • \sqrt{hPkA_c} tem unidade de W/K e fornece a escala de calor removido pela aleta;
  • o fator fracionário (a razão de combinações de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}) incorpora o efeito do comprimento finito e da convecção na ponta.
  • A transferência de calor da área nua correspondente (a área circular do pino) é simplesmente a convecção direta dessa área:
q_{\text{nua}}=h A_p\,\theta_b,\qquad A_p=\frac{\pi D^2}{4}.
Para comparar não precisamos conhecer \theta_b explicitamente porque ele cancela ao calcular razão/percentual.

Passo 4

Calcular as grandezas geométricas numéricas:
A_c=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}003)^2}{4}=7{,}0686\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2},
P=\pi D=\pi(0{,}003)=9{,}42478\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
e a área projetada (base nua) é a mesma que A_p=A_c para o nosso critério:
A_p=\frac{\pi D^2}{4}=7{,}0686\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Calcular m e termos auxiliares:
m=2\sqrt{\frac{h}{kD}}=2\sqrt{\frac{100}{380\cdot 0{,}003}} \approx 18{,}7396\\ \mathrm{m^{-1}}.
Produto adimensional mL:
mL=18{,}7396\cdot 0{,}03\approx 0{,}56219.
Também será útil o quociente
\frac{h}{mk}=\frac{100}{18{,}7396\cdot 380}\approx 0{,}014042.

Passo 6

Calcular o prefator \sqrt{hPkA_c} numérico:
hPkA_c = 100\cdot(9{,}42478\times10^{-3})\cdot 380\cdot(7{,}0686\times10^{-6}) \approx 2{,}528\times10^{-3},
portanto
\sqrt{hPkA_c}\approx 0{,}05028\\ \mathrm{W/K}.

Passo 7

Avaliar o fator hiperbólico da fórmula da aleta:
calcule \operatorname{sinh}(mL) e \operatorname{cosh}(mL) com mL\approx0{,}56219:
\operatorname{sinh}(mL)\approx 0{,}59240,\qquad \operatorname{cosh}(mL)\approx 1{,}16223.
Agora o numerador e denominador do fator:
\text{num}=\operatorname{sinh}(mL)+\frac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)\approx 0{,}59240+0{,}014042\cdot1{,}16223\approx 0{,}60873,
\text{den}=\operatorname{cosh}(mL)+\frac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)\approx 1{,}16223+0{,}014042\cdot0{,}59240\approx 1{,}17055.
Razão:
\frac{\text{num}}{\text{den}}\approx \frac{0{,}60873}{1{,}17055}\approx 0{,}5200.
Portanto o calor retirado por uma aleta (por unidade de \theta_b) é
q_f=\sqrt{hPkA_c}\,\theta_b\cdot 0{,}5200\approx 0{,}05028\cdot 0{,}5200\\ \theta_b\approx 0{,}02615\\ \theta_b\\ \mathrm{[W]}.

Passo 8

Calcular o calor da área nua (sem aleta) por pino:
q_{\text{nua}}=hA_p\theta_b=100\cdot(7{,}0686\times10^{-6})\\ \theta_b \approx 0{,}00070686\\ \theta_b\\ \mathrm{[W]}.

Passo 9

Calcular aumento percentual:
  • razão entre as potências:
\frac{q_f}{q_{\text{nua}}}\approx\frac{0{,}02615}{0{,}00070686}\approx 36{,}995\\ (\text{vezes}).
  • aumento percentual (ou seja (q_f-q_{\text{nua}})/q_{\text{nua}}\times100\%):
\left(\frac{q_f}{q_{\text{nua}}}-1\right)\times100\%\approx (36{,}995-1)\times100\%\approx 3599{,}5\%\approx 3600\%.

Passo 10

Interpretação física e observações práticas (rápida):
  • Resultado: cada pino aumenta a remoção de calor em cerca de 36{,}995 vezes em relação à mesma pequena área nua, ou um aumento de cerca de 3600\%. Isso acontece porque a aleta aumenta enormemente a área efetiva de troca (superfície lateral longa) e o cobre tem alta condutividade, permitindo que calor chegue fácil da base até a ponta.
  • Atenção prática: esse cálculo foi feito por pino, assumindo que o calor que entra na aleta vem da base sem perdas adicionais e que as aletas não se atrapalham (isto é, estão espaçadas o suficiente para não reduzir a convecção entre si). Em uma matriz real, o espaçamento entre pinos, resistência térmica da base e interação convectiva entre pinos podem reduzir a eficiência global; ainda assim a ordem de ganho é bem grande para pinos longos e condutores como cobre.
  • Força motivadora: a matemática mostra que pequenas aletas cilíndricas bem condutoras podem multiplicar muito a troca de calor — por isso heat sinks com muitos pinos funcionam tão bem. Você está indo bem — decisões de modelagem (como a escolha da área de comparação) são parte do processo em provas; declare sempre a hipótese como foi feito aqui.

Resposta

\approx 3600\%

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