Para os campos de velocidade dados abaixo:
(1) (vec{V}=\left[a y^{2} e^{-b r}\right] \hat{i}
(2) (vec{V}=a x^{2} \hat{i}+b x \hat{j}+c \hat{k}
(3) (vec{V}=a x y \hat{i}-b y t \hat{j}
(4) (vec{V}=a x \hat{i}-b y \hat{j}+c t \hat{k}
(5) (vec{V}=\left[a e^{-b x}\right] \hat{i}+b t^{2} \hat{j}
(6) (vec{V}=a\left(x{2}+y{2}\right)^{1 / 2}\left(1 / z^{3}\right) \hat{k}
(7) (vec{V}=(a x+t) \hat{i}-b y^{2} \hat{j}
(8) (vec{V}=a x^{2} \hat{i}+b x z \hat{j}+c y \hat{k}
a) O campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê?
b) O escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê? (a e b são constantes.))

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pedem, para cada um dos oito campos de velocidade, duas coisas:
    a) dizer se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional e justificar;
    b) dizer se o escoamento é em regime permanente (steady) ou transiente (unsteady) e justificar.
  • Dados: os oito campos \vec{V} listados. As constantes a,b,c são constantes (não dependem do tempo nem do espaço). As variáveis possíveis são as coordenadas espaciais \,x,y,z e o tempo \,t.
  • Observação importante: o campo (1) usa r. Não foi especificado no enunciado se \,r=\sqrt{x^2+y^2} (raio no plano) ou \,r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} (raio 3D). Vou declarar essa ambiguidade no passo correspondente e tomar a interpretação mais comum, explicando a alternativa.

Passo 2

Critério que vou usar (explicadinho e com exemplos).
  • Definição prática de dimensionalidade que vou adotar: conto o número de variáveis espaciais independentes das quais os componentes de velocidade realmente dependem. Ou seja:
    • Unidimensional: os componentes de \vec{V} dependem apenas de uma coordenada espacial (por exemplo apenas de \,x); mesmo que haja mais de uma componente não nula, se nenhuma componente depende de \,y ou \,z então consideramos unidimensional. Ex.: \vec{V}=(u(x),v(x),w(x)) é unidimensional segundo este critério.
    • Bidimensional: há dependência espacial de duas coordenadas entre \,x,y,z. Ex.: \vec{V}=(u(x,y),0,0) é bidimensional.
    • Tridimensional: dependência espacial envolve as três coordenadas \,x,y,z.
  • Por que escolho esse critério? É o jeito mais útil em provas para saber quantas direções espaciais influenciam a variação do campo — e evita confundir “quantidade de componentes não nulas” com “quantidade de variáveis espaciais usadas”.
  • Regime (steady vs unsteady): se algum componente de \vec{V} depende explicitamente do tempo \,t então o escoamento é transiente (unsteady). Se nenhum componente depende de \,t então é permanente (steady).
  • Exemplo rápido: \vec{V}=(\sin x,0,0) → unidimensional e permanente. \vec{V}=(x t,0,0) → unidimensional e transiente (depende de x e de t, mas apenas uma variável espacial).
Agora aplico esses critérios a cada campo.

Passo 3

Campo (1): \vec{V}=\left[a y^{2} e^{-b r}\right]\hat{i}.
  • Variáveis que aparecem: aparece y explicitamente e aparece r. Aqui há ambiguidade sobre r:
    • Interpretação comum 1 (3D): r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Nesse caso o componente depende de x,y,z (porque r depende de x,y,z e há ainda y^2), ou seja depende de três coordenadas espaciais → tridimensional.
    • Interpretação comum 2 (2D): r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Nesse caso depende apenas de x e y → bidimensional.
  • Não há dependência explícita de t → permanente (steady).
  • Conclusão adotada (vou adotar a interpretação mais geral, 3D, a menos que o enunciado especifique plano): considerando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, o escoamento é tridimensional e permanente. Se r for o raio no plano \sqrt{x^{2}+y^{2}}, então seria bidimensional e permanente.

Passo 4

Campo (2): \vec{V}=a x^{2}\hat{i}+b x\hat{j}+c\hat{k}.
  • Variáveis que aparecem: os três componentes dependem apenas de \,x. Não aparece \,y, não aparece \,z, não aparece \,t.
  • Pelo critério: dependência espacial só em uma coordenada ( x) → unidimensional.
  • Como nenhuma componente depende de t → permanente.
  • Observação: embora haja três componentes não nulas (i, j, k), a variação espacial só ocorre na direção x, por isso chamei de unidimensional segundo o critério explicado.

Passo 5

Campo (3): \vec{V}=a x y\hat{i}-b y t\hat{j}.
  • Variáveis que aparecem espacialmente: x e y estão presentes (no termo a x y e em y t). Aparece também t.
  • Pelo critério: usa duas coordenadas espaciais ( x,y) → bidimensional.
  • Há dependência explícita de t (no termo -b y t) → transiente.
  • Conclusão: bidimensional e transiente.

Passo 6

Campo (4): \vec{V}=a x\hat{i}-b y\hat{j}+c t\hat{k}.
  • Variáveis que aparecem espacialmente: x e y aparecem; o componente \hat{k} depende de t apenas (é c t, não depende de z).
  • Pelo critério: as dependências espaciais envolvem \,x e \,y → bidimensional.
  • Há dependência explícita de t (no termo c t) → transiente.
  • Observação: há componente não nula em \hat{k}, mas ela não traz dependência em z; portanto, segundo o critério de contagem de variáveis espaciais, permanece bidimensional apesar de haver componente na terceira direção.

Passo 7

Campo (5): \vec{V}=\left[a e^{-b x}\right]\hat{i}+b t^{2}\hat{j}.
  • Variáveis que aparecem espacialmente: aparece somente x (no termo a e^{-b x}). O termo em \hat{j} depende só de t, não de coordenadas espaciais.
  • Pelo critério: há dependência espacial somente em uma coordenada ( x) → unidimensional.
  • Há dependência explícita de t (termo b t^{2}) → transiente.
  • Conclusão: unidimensional e transiente.

Passo 8

Campo (6): \vec{V}=a\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}\left(1/z^{3}\right)\hat{k}.
  • Variáveis que aparecem: x, y e z aparecem no mesmo componente \hat{k} (via \sqrt{x^{2}+y^{2}} e z^{-3}). Não há t.
  • Pelo critério: depende das três coordenadas espaciais → tridimensional.
  • Não há dependência de t → permanente.
  • Observação: o campo é só na direção \hat{k} (componente única), mas varia com x,y,z, então é tridimensional segundo o critério adotado.

Passo 9

Campo (7): \vec{V}=(a x+t)\hat{i}-b y^{2}\hat{j}.
  • Variáveis que aparecem: espacialmente aparecem x e y. Aparece também t (no termo a x + t).
  • Pelo critério: dependência espacial em \,x e \,y → bidimensional.
  • Há dependência explícita de t → transiente.
  • Conclusão: bidimensional e transiente.

Passo 10

Campo (8): \vec{V}=a x^{2}\hat{i}+b x z\hat{j}+c y\hat{k}.
  • Variáveis que aparecem: x, y e z aparecem (no primeiro termo x^{2}, no segundo x z, no terceiro y). Não aparece t.
  • Pelo critério: depende das três coordenadas espaciais → tridimensional.
  • Não há t → permanente.
  • Conclusão: tridimensional e permanente.

Resposta

  1. tridimensional; permanente
  2. unidimensional; permanente
  3. bidimensional; transiente
  4. bidimensional; transiente
  5. unidimensional; transiente
  6. tridimensional; permanente
  7. bidimensional; transiente
  8. tridimensional; permanente

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