Para os campos de velocidade dados abaixo:
(1) (vec{V}=\left[a y^{2} e^{-b r}\right] \hat{i}
(2) (vec{V}=a x^{2} \hat{i}+b x \hat{j}+c \hat{k}
(3) (vec{V}=a x y \hat{i}-b y t \hat{j}
(4) (vec{V}=a x \hat{i}-b y \hat{j}+c t \hat{k}
(5) (vec{V}=\left[a e^{-b x}\right] \hat{i}+b t^{2} \hat{j}
(6) (vec{V}=a\left(x{2}+y{2}\right)^{1 / 2}\left(1 / z^{3}\right) \hat{k}
(7) (vec{V}=(a x+t) \hat{i}-b y^{2} \hat{j}
(8) (vec{V}=a x^{2} \hat{i}+b x z \hat{j}+c y \hat{k}
a) O campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê?
b) O escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê? (a e b são constantes.))
(1) (vec{V}=\left[a y^{2} e^{-b r}\right] \hat{i}
(2) (vec{V}=a x^{2} \hat{i}+b x \hat{j}+c \hat{k}
(3) (vec{V}=a x y \hat{i}-b y t \hat{j}
(4) (vec{V}=a x \hat{i}-b y \hat{j}+c t \hat{k}
(5) (vec{V}=\left[a e^{-b x}\right] \hat{i}+b t^{2} \hat{j}
(6) (vec{V}=a\left(x{2}+y{2}\right)^{1 / 2}\left(1 / z^{3}\right) \hat{k}
(7) (vec{V}=(a x+t) \hat{i}-b y^{2} \hat{j}
(8) (vec{V}=a x^{2} \hat{i}+b x z \hat{j}+c y \hat{k}
b) O escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê? (a e b são constantes.))
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pedem, para cada um dos oito campos de velocidade, duas coisas:
a) dizer se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional e justificar;
b) dizer se o escoamento é em regime permanente (steady) ou transiente (unsteady) e justificar. - Dados: os oito campos
listados. As constantes são constantes (não dependem do tempo nem do espaço). As variáveis possíveis são as coordenadas espaciais e o tempo . - Observação importante: o campo (1) usa
. Não foi especificado no enunciado se (raio no plano) ou (raio 3D). Vou declarar essa ambiguidade no passo correspondente e tomar a interpretação mais comum, explicando a alternativa.
Passo 2
Critério que vou usar (explicadinho e com exemplos).
- Definição prática de dimensionalidade que vou adotar: conto o número de variáveis espaciais independentes das quais os componentes de velocidade realmente dependem. Ou seja:
- Unidimensional: os componentes de
dependem apenas de uma coordenada espacial (por exemplo apenas de ); mesmo que haja mais de uma componente não nula, se nenhuma componente depende de ou então consideramos unidimensional. Ex.: é unidimensional segundo este critério. - Bidimensional: há dependência espacial de duas coordenadas entre
. Ex.: é bidimensional. - Tridimensional: dependência espacial envolve as três coordenadas
.
- Unidimensional: os componentes de
- Por que escolho esse critério? É o jeito mais útil em provas para saber quantas direções espaciais influenciam a variação do campo — e evita confundir “quantidade de componentes não nulas” com “quantidade de variáveis espaciais usadas”.
- Regime (steady vs unsteady): se algum componente de
depende explicitamente do tempo então o escoamento é transiente (unsteady). Se nenhum componente depende de então é permanente (steady). - Exemplo rápido:
→ unidimensional e permanente. → unidimensional e transiente (depende de e de , mas apenas uma variável espacial).
Agora aplico esses critérios a cada campo.
Passo 3
Campo (1):
.
- Variáveis que aparecem: aparece
explicitamente e aparece . Aqui há ambiguidade sobre : - Interpretação comum 1 (3D):
. Nesse caso o componente depende de (porque depende de e há ainda ), ou seja depende de três coordenadas espaciais → tridimensional. - Interpretação comum 2 (2D):
. Nesse caso depende apenas de e → bidimensional.
- Interpretação comum 1 (3D):
- Não há dependência explícita de
→ permanente (steady). - Conclusão adotada (vou adotar a interpretação mais geral, 3D, a menos que o enunciado especifique plano): considerando
, o escoamento é tridimensional e permanente. Se for o raio no plano , então seria bidimensional e permanente.
Passo 4
Campo (2):
.
- Variáveis que aparecem: os três componentes dependem apenas de
. Não aparece , não aparece , não aparece . - Pelo critério: dependência espacial só em uma coordenada (
) → unidimensional. - Como nenhuma componente depende de
→ permanente. - Observação: embora haja três componentes não nulas (i, j, k), a variação espacial só ocorre na direção
, por isso chamei de unidimensional segundo o critério explicado.
Passo 5
Campo (3):
.
- Variáveis que aparecem espacialmente:
e estão presentes (no termo e em ). Aparece também . - Pelo critério: usa duas coordenadas espaciais (
) → bidimensional. - Há dependência explícita de
(no termo ) → transiente. - Conclusão: bidimensional e transiente.
Passo 6
Campo (4):
.
- Variáveis que aparecem espacialmente:
e aparecem; o componente depende de apenas (é , não depende de ). - Pelo critério: as dependências espaciais envolvem
e → bidimensional. - Há dependência explícita de
(no termo ) → transiente. - Observação: há componente não nula em
, mas ela não traz dependência em ; portanto, segundo o critério de contagem de variáveis espaciais, permanece bidimensional apesar de haver componente na terceira direção.
Passo 7
Campo (5):
.
- Variáveis que aparecem espacialmente: aparece somente
(no termo ). O termo em depende só de , não de coordenadas espaciais. - Pelo critério: há dependência espacial somente em uma coordenada (
) → unidimensional. - Há dependência explícita de
(termo ) → transiente. - Conclusão: unidimensional e transiente.
Passo 8
Campo (6):
.
- Variáveis que aparecem:
, e aparecem no mesmo componente (via e ). Não há . - Pelo critério: depende das três coordenadas espaciais → tridimensional.
- Não há dependência de
→ permanente. - Observação: o campo é só na direção
(componente única), mas varia com , então é tridimensional segundo o critério adotado.
Passo 9
Campo (7):
.
- Variáveis que aparecem: espacialmente aparecem
e . Aparece também (no termo ). - Pelo critério: dependência espacial em
e → bidimensional. - Há dependência explícita de
→ transiente. - Conclusão: bidimensional e transiente.
Passo 10
Campo (8):
.
- Variáveis que aparecem:
, e aparecem (no primeiro termo , no segundo , no terceiro ). Não aparece . - Pelo critério: depende das três coordenadas espaciais → tridimensional.
- Não há
→ permanente. - Conclusão: tridimensional e permanente.
Resposta
- tridimensional; permanente
- unidimensional; permanente
- bidimensional; transiente
- bidimensional; transiente
- unidimensional; transiente
- tridimensional; permanente
- bidimensional; transiente
- tridimensional; permanente