• Ex. 126 - Verifique que a fórmula que demos para determinar uma circunferência passando por dois pontos é naturalmente generalizada para quatro pontos e esferas. Depois demonstre que vale a generalização para n+1 pontos e hiperesferas em R^n.

Passo 1

O enunciado nos convida a ver que a mesma ideia determinantal usada para obter a equação de uma circunferência em R^2 (três pontos) vale para a esfera em R^3 (quatro pontos) e, em geral, para hiperesferas em R^n que passam por n+1 pontos. Vamos usar geometria analítica em dimensão arbitrária, a forma geral de uma hiperesfera e a regra de Cramer para montar e resolver o sistema linear que determina o centro e o raio.

Passo 2

Em R^n, a equação de uma hiperesfera de centro a=(a1,dots,an) e raio r é
|x-a|^2 = r^2,
ou seja
x1^2+cdots+xn^2 -2sumi=1^n ai,xi + l(sumi=1^n ai^2 - r^2r)=0
Definindo bi = -2ai e c = sumi=1^n ai^2 - r^2, obtemos a forma geral
x1^2+cdots+xn^2 + sumi=1^n bi,xi + c = 0,
com n+1 incógnitas b1,dots,bn,c.

Passo 3

Suponha que queremos essa hiperesfera passando pelos pontos
x^(k)=(x1^(k),dots,xn^(k)), k=1,dots,n+1.
Substituindo cada x^(k) na equação geral, formamos o sistema linear
sumi=1^n l(xi^(k)r)^2 ;+;sumi=1^n bi,xi^(k);+;c ;=;0, k=1,dots,n+1,
que é linear em b1,dots,bn,c.

Passo 4

Pela regra de Cramer, a condição de um ponto genérico x=(x1,dots,xn) pertencer à mesma hiperesfera resulta do aniquilamento do determinante de ordem n+2:
x1^2+cdots+xn^2 & x1 & x2 & cdots & xn & 1 sumi=1^n (xi^(1))^2 & x1^(1) & x2^(1) & cdots & xn^(1) & 1 vdots & vdots & vdots & & vdots & vdots sumi=1^n (xi^(n+1))^2 & x1^(n+1) & x2^(n+1) & cdots & xn^(n+1) & 1 =0
Para n=2 isso reproduz a fórmula da circunferência em R^2 e, para n=3, a fórmula da esfera em R^3.

Resposta

A equação determinantal que define a hiperesfera em R^n passando por n+1 pontos x^(1),dots,x^(n+1) é
x1^2 + cdots + xn^2 & x1 & x2 & cdots & xn & 1 sumi=1^n (xi^(1))^2 & x1^(1) & x2^(1) & cdots & xn^(1) & 1 vdots & vdots & vdots & & vdots & vdots sumi=1^n (xi^(n+1))^2 & x1^(n+1) & x2^(n+1) & cdots & xn^(n+1) & 1 =0
Essa fórmula reduz-se imediatamente aos casos de circunferência ( n=2) e de esfera ( n=3).

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