Ex. 126 - Verifique que a fórmula que demos para determinar uma circunferência passando por dois pontos é naturalmente generalizada para quatro pontos e esferas. Depois demonstre que vale a generalização para pontos e hiperesferas em .
Passo 1
O enunciado nos convida a ver que a mesma ideia determinantal usada para obter a equação de uma circunferência em (três pontos) vale para a esfera em (quatro pontos) e, em geral, para hiperesferas em que passam por pontos. Vamos usar geometria analítica em dimensão arbitrária, a forma geral de uma hiperesfera e a regra de Cramer para montar e resolver o sistema linear que determina o centro e o raio.
Passo 2
Em , a equação de uma hiperesfera de centro e raio é
ou seja
Definindo e , obtemos a forma geral
com incógnitas .
Passo 3
Suponha que queremos essa hiperesfera passando pelos pontos , .
Substituindo cada na equação geral, formamos o sistema linear
que é linear em .
Passo 4
Pela regra de Cramer, a condição de um ponto genérico pertencer à mesma hiperesfera resulta do aniquilamento do determinante de ordem :
Para n=2 isso reproduz a fórmula da circunferência em R^2 e, para n=3, a fórmula da esfera em R^3.
Resposta
A equação determinantal que define a hiperesfera em R^n passando por n+1 pontos x^(1),dots,x^(n+1) é