Ex. 130 - Resolva usando a regra de Cramer:
(a) lx1+x2+x3=0 x1+x2-x3=1 x1-x2+x3=-1 (b)rx1+x2=0 x2-x3=1 2 x1 3 x3=2 (c)r-x1+x3+x4=1 x1+3 x2+x3+x4=2 x2+x3=2 2 x1-3 x2-6 x4=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver três sistemas lineares por meio da regra de Cramer. O conteúdo necessário é cálculo de determinantes de matrizes 3times3 e 4times4 e depois uso de
xi = De<aiDe<a,
onde De<a é o determinante da matriz dos coeficientes e De<ai é o determinante obtido substituindo a i-ésima coluna pelos termos independentes.

Passo 2

Sistema (a):
x1+x2+x3=0, x1+x2-x3=1, x1-x2+x3=-1
A matriz dos coeficientes é
A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 , De<a = det(A) = -4
Substituindo colunas e calculando determinantes, obtemos
De<a1=0, De<a2=-2, De<a3=2
Logo
x1=De<a1De<a=0, x2=De<a2De<a=tfrac12, x3=De<a3De<a=-tfrac12

Passo 3

Sistema (b):
x1+x2=0, x2-x3=1, 2x1+3x3=2
A matriz dos coeficientes é
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 2 & 0 & 3 , De<a = det(A) = 1
Substituindo colunas, achamos
De<a1=-5, De<a2=5, De<a3=4
Portanto
x1=-5, x2=5, x3=4

Passo 4

Sistema (c):
-,x1+x3+x4=1, x1+3x2+x3+x4=2, x2+x3=2, 2x1-3x2-6x4=1
A matriz dos coeficientes é
A= -1 & 0 & 1 & 1 1 & 3 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 0 2 & -3 & 0 & -6 , De<a=det(A)=-6
Calculando De<a1,De<a2,De<a3,De<a4 (substituindo colunas pelos termos independentes) obtemos
De<a1=6, De<a2=-6, De<a3=-6, De<a4=6
Assim
x1=-1, x2=1, x3=1, x4=-1

Resposta

(a) (x1,x2,x3) = l(0,tfrac12,-tfrac12r)
(b) (x1,x2,x3) = (-5,,5,,4)
(c) (x1,x2,x3,x4) = (-1,,1,,1,,-1)

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