Revise a notação que usamos para matrizes elementares e calcule os determinantes das matrizes a seguir. Diga também de que ordem, no mínimo, devem ser as matrizes para que as expressões façam sentido. A, B, C são matrizes, e k é escalar.
Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n, tais que A e B não tem entradas não-nulas em comum. Em que situação é possível termos
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Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n, tais que A e B não tem entradas não-nulas em comum. Em que situação é possível termos
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
. Rever a notação de matrizes elementares e calcular os determinantes de certas matrizes (que não foram explicitamente dadas), indicando também a ordem mínima necessária para que as expressões façam sentido.
. Dadas duas matrizes quadradas
e
de ordem
cujos suportes (posições onde são não-nulas) são disjuntos, decidir em que situação podemos ter
Passo 2
Não é possível calcular os determinantes nem dizer a ordem mínima das matrizes da primeira parte porque o enunciado não especificou quais matrizes elementares devemos usar. Sem conhecer essas matrizes, fica impossível executar os cálculos ou afirmar o tamanho mínimo.
Passo 3
Para a segunda questão, observe que cada determinante é uma soma de produtos de entradas de uma só matriz. Se os suportes de
e
são disjuntos, os produtos que aparecem em
usam apenas entradas de
e os de
usam apenas entradas de
. Portanto, a igualdade
impõe que os dois números — cada um resultante de somas de produtos distintos — coincidam.
Duas situações podem ocorrer:
Você pode escolher
Exemplo para
de modo que
Basta escolher
e
tais que
para que
.
Note que já em existe essa construção não trivial.
Note que já em
Em suma,
pode ocorrer sempre que, seja pelo produto único de entradas (não triviais) de cada matriz, seja pelo valor zero em ambos, os valores numéricos coincidirem.]
Resposta
Não há como resolver a primeira parte por falta de definição das matrizes.
Para a igualdade
com suportes disjuntos, basta que ambos os determinantes coincidam numericamente — o que acontece trivialmente se forem zero ou, de modo não trivial, escolhendo cada matriz com exatamente um termo não nulo em sua expansão de determinante e igualando esses produtos.