Revise a notação que usamos para matrizes elementares e calcule os determinantes das matrizes a seguir. Diga também de que ordem, no mínimo, devem ser as matrizes para que as expressões façam sentido. A, B, C são matrizes, e k é escalar.
Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n, tais que A e B não tem entradas não-nulas em comum. Em que situação é possível termos det A=det B ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
1. Rever a notação de matrizes elementares e calcular os determinantes de certas matrizes (que não foram explicitamente dadas), indicando também a ordem mínima necessária para que as expressões façam sentido.
2. Dadas duas matrizes quadradas A e B de ordem n cujos suportes (posições onde são não-nulas) são disjuntos, decidir em que situação podemos ter
det A = det B

Passo 2

Não é possível calcular os determinantes nem dizer a ordem mínima das matrizes da primeira parte porque o enunciado não especificou quais matrizes elementares devemos usar. Sem conhecer essas matrizes, fica impossível executar os cálculos ou afirmar o tamanho mínimo.

Passo 3

Para a segunda questão, observe que cada determinante é uma soma de produtos de entradas de uma só matriz. Se os suportes de A e B são disjuntos, os produtos que aparecem em det A usam apenas entradas de A e os de det B usam apenas entradas de B. Portanto, a igualdade
det A = det B
impõe que os dois números — cada um resultante de somas de produtos distintos — coincidam.
Duas situações podem ocorrer:
1. Caso trivial
det A = det B = 0. Basta que pelo menos uma das matrizes tenha determinante zero (ou ambas), sem outra restrição.
2. Caso não trivial
Você pode escolher A e B de modo que cada determinante seja dado por um único produto de entradas não-nulas, e fazer esses produtos iguais.
Exemplo para n=2:
A = a & 0[6pt] 0 & b , B = 0 & p[3pt] q & 0 ,
de modo que
det A = a,b, det B = -,p,q
Basta escolher p e q tais que
-,p,q ;=; a,b Longrightarrow p,q = -,a,b,
para que det A=det B.
Note que já em n=2 existe essa construção não trivial.
Em suma, det A=det B pode ocorrer sempre que, seja pelo produto único de entradas (não triviais) de cada matriz, seja pelo valor zero em ambos, os valores numéricos coincidirem.]

Resposta

Não há como resolver a primeira parte por falta de definição das matrizes.
Para a igualdade det A=det B com suportes disjuntos, basta que ambos os determinantes coincidam numericamente — o que acontece trivialmente se forem zero ou, de modo não trivial, escolhendo cada matriz com exatamente um termo não nulo em sua expansão de determinante e igualando esses produtos.

Exercícios de Livros Relacionados