Ex. 149 - Considere as três funções
e
em
. Responda:
-Estas funções são LI ou LD em
?
-E em algum intervalo qualquer
?
-Estas funções são LI ou LD em
-E em algum intervalo qualquer
Passo 1
O enunciado nos dá três funções em
(espaço das funções contínuas) definidas em
:
Precisamos decidir se elas são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD) quando consideradas como vetores em
- Todo o domínio
. - Qualquer intervalo fechado
.
Para isso, usamos a definição: são LD se existem constantes não todas nulas que façam
e LI caso contrário.
Passo 2
Suponha que exista combinação linear não trivial
com
. Nosso objetivo é mostrar que necessariamente
.
Passo 3
Diferenciando a relação
obtemos
e diferenciando de novo
Passo 4
Da terceira equação
multiplicando por
fica
Isto só é possível se
e
. Substituindo em
vemos que
. Logo a única solução é
, ou seja, a combinação não trivial não existe.
Passo 5
Concluímos que
são linearmente independentes em
. Como a independência linear vale em todo o domínio, vale também em qualquer subconjunto, em particular em qualquer intervalo fechado
.
Resposta
Em
: linearmente independentes (LI).
Em qualquer intervalo : também LI.
Em qualquer intervalo