Ex. 149 - Considere as três funções f(x)=x, g(x)=e^x e h(x)=e^-x em C^0. Responda:
-Estas funções são LI ou LD em R ?
-E em algum intervalo qualquer [a, b] subseteq R ?

Passo 1

O enunciado nos dá três funções em C^0 (espaço das funções contínuas) definidas em R:
f(x)=x, g(x)=e^x, h(x)=e^-x
Precisamos decidir se elas são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD) quando consideradas como vetores em
  1. Todo o domínio R.
  2. Qualquer intervalo fechado [a,b]subseteqR.
    Para isso, usamos a definição: são LD se existem constantes não todas nulas que façam
A,f(x)+B,g(x)+C,h(x)=0forall x
e LI caso contrário.

Passo 2

Suponha que exista combinação linear não trivial
A,x ;+; B,e^x;+; C,e^-x;=;0 forall xinR,
com A,B,CinR. Nosso objetivo é mostrar que necessariamente A=B=C=0.

Passo 3

Diferenciando a relação
A,x + B,e^x + C,e^-x = 0
obtemos
A + B,e^x - C,e^-x = 0
e diferenciando de novo
B,e^x + C,e^-x = 0

Passo 4

Da terceira equação
B,e^x + C,e^-x = 0forall x
multiplicando por e^x fica
B,e^2x + C = 0forall x
Isto só é possível se B=0 e C=0. Substituindo em
A + B,e^x - C,e^-x = 0
vemos que A=0. Logo a única solução é A=B=C=0, ou seja, a combinação não trivial não existe.

Passo 5

Concluímos que f,g,h são linearmente independentes em R. Como a independência linear vale em todo o domínio, vale também em qualquer subconjunto, em particular em qualquer intervalo fechado [a,b]subseteqR.

Resposta

Em R: linearmente independentes (LI).
Em qualquer intervalo [a,b]subseteqR: também LI.

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