Ex. 143 - Demonstre o teorema de Sylvester: se é , e B é , então

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes A de tamanho ntimes k e B de tamanho ktimes n, vale
detl(In + A Br) ;=;detl(Ik + B Ar)
O que vamos usar é a fórmula de determinante por complemento de Schur para blocos de matriz.

Passo 2

Considere a matriz quadrada de ordem k+n
M ;=; Ik & B [6pt] -,A & In
Como Ik é invertível, a fórmula de Schur diz
det(M) =det(Ik);det!l(In -(-A),Ik^-1Br) =det(Ik);detl(In + A Br)
Mas det(Ik)=1, logo
det(M)=detl(In + A Br) ]

Passo 3

Agora aplique a mesma fórmula, mas tomando o bloco W=In (invertível) no canto inferior direito. A versão de Schur para esse caso é
det(M) =det(In);det!l(Ik - B,In^-1(-A)r) =det(In);detl(Ik + B Ar)
E como det(In)=1, obtemos
det(M)=detl(Ik + B Ar)

Passo 4

Das igualdades colhidas nos dois passos temos
detl(In + A Br) =det(M) =detl(Ik + B Ar),
concluindo o teorema de Sylvester.

Resposta

detl(In + A Br)=detl(Ik + B Ar)

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