Ex. 143 - Demonstre o teorema de Sylvester: se
é
, e B é
, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes
de tamanho
e
de tamanho
, vale
O que vamos usar é a fórmula de determinante por complemento de Schur para blocos de matriz.
Passo 2
Considere a matriz quadrada de ordem
Como
é invertível, a fórmula de Schur diz
Mas
, logo
Passo 3
Agora aplique a mesma fórmula, mas tomando o bloco
(invertível) no canto inferior direito. A versão de Schur para esse caso é
E como
, obtemos
Passo 4
Das igualdades colhidas nos dois passos temos
concluindo o teorema de Sylvester.