Ex. 148 - Determine a para que os triângulos triang<=1 e triang<=2, cujos vértices são dados a seguir, tenham a mesma área.
& triang<=1:(3,1)^top,(0, a)^top,(2,5)^top & triang<=2:(1, a)^top,(-1,-4)^top,(0,0)^top

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de a de modo que a área de triang<=1 seja igual à área de triang<=2. Vamos usar a fórmula da área de um triângulo dado por três vértices no plano, que é
área = 12 l|det(u,v)r| á
onde u e v são dois vetores formados a partir de um mesmo vértice.

Passo 2

Para triang<=1 com vértices (3,1)^top,(0,a)^top,(2,5)^top, escolhemos como referência (3,1)^top. Então
u = (0,a)^top - (3,1)^top = (-3,;a-1)^top, v = (2,5)^top - (3,1)^top = (-1,;4)^top
O determinante é
det(u,v) = (-3)cdot 4 ;-;(a-1)cdot(-1) = a - 13
Portanto
A1 = 12,l|a - 13r|

Passo 3

Para triang<=2 com vértices (1,a)^top,(-1,-4)^top,(0,0)^top, escolhemos (0,0)^top como referência. Então
p = (-1,-4)^top, q = (1,a)^top,
e
det(p,q) = (-1)cdot a ;-;(-4)cdot 1 = 4 - a
Assim
A2 = 12,l|4 - ar| = 12,l|a - 4r|

Passo 4

Igualando A1 e A2:
12,l|a - 13r| = 12,l|a - 4r| Longrightarrow l|a - 13r| = l|a - 4r|
As duas equações possíveis são
a - 13 = a - 4 (sem solução) ou a - 13 = -(a - 4) ;Longrightarrow;2a = 17 ;Longrightarrow; a = 172 çã

Resposta

a = 172.

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