Ex. 247 - Quais destes conjuntos são grupos com a operação de multiplicação de matrizes?
a) Matrizes ortogonais
b) Matrizes ortogonais com determinante +1
c) Matrizes ortogonais com determinante -1

Passo 1

O enunciado pede determinar quais dos seguintes conjuntos formam um grupo sob a operação de multiplicação de matrizes:
a) todas as matrizes ortogonais;
b) todas as matrizes ortogonais com det=+1;
c) todas as matrizes ortogonais com det=-1.
O conteúdo principal é a definição de grupo: precisamos verificar, além da associatividade (que já vale para toda multiplicação de matrizes), a existência de elemento neutro, de inversos e o fechamento.

Passo 2

Ressaltando que a multiplicação de matrizes é associativa em Mn( R), sobra checar para cada conjunto:
  1. se o elemento neutro I está no conjunto;
  2. se para todo par de elementos do conjunto o produto também está no conjunto (fechamento);
  3. se todo elemento tem inverso dentro do conjunto.

Passo 3

Analisando (a):
O conjunto é
O(n)=Ain Mn( R)mid A^T A = I
  1. I satisfaz I^T I=I, logo está em O(n).
  2. Se A,Bin O(n) então
(AB)^T(AB)=B^T A^T A B = B^T I B = B^T B = I,
logo ABin O(n).
3. Se Ain O(n) então A^-1=A^T e (A^T)^T A^T = A A^T = I, logo A^-1in O(n).
Portanto (a) é grupo.

Passo 4

Analisando (b):
O conjunto é
SO(n)=Ain O(n)mid det A = +1
  1. det I=+1 e Iin O(n), então Iin SO(n).
  2. Se A,Bin SO(n) então det(AB)=det Adet B=+1cdot+1=+1 e ABin O(n), logo ABin SO(n).
  3. Se Ain SO(n) então det(A^-1)=1/det A=+1 e A^-1=A^Tin O(n), logo A^-1in SO(n).
    Portanto (b) é grupo.

Passo 5

Analisando (c):
O conjunto é
Ain O(n)mid det A = -1
  1. det I=+1neq -1, então I não pertence ao conjunto (não há elemento neutro).
  2. Mesmo se tentássemos, a multiplicação de duas matrizes de determinante -1 det=+1, saindo do conjunto (fechamento falha).
    Logo (c) não satisfaz as propriedades de grupo.

Resposta

(a) Sim.
(b) Sim.
(c) Não.

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