Ex. 247 - Quais destes conjuntos são grupos com a operação de multiplicação de matrizes?
a) Matrizes ortogonais
b) Matrizes ortogonais com determinante +1
c) Matrizes ortogonais com determinante -1
a) Matrizes ortogonais
b) Matrizes ortogonais com determinante +1
c) Matrizes ortogonais com determinante -1
Passo 1
O enunciado pede determinar quais dos seguintes conjuntos formam um grupo sob a operação de multiplicação de matrizes:
a) todas as matrizes ortogonais;
b) todas as matrizes ortogonais com ;
c) todas as matrizes ortogonais com .
O conteúdo principal é a definição de grupo: precisamos verificar, além da associatividade (que já vale para toda multiplicação de matrizes), a existência de elemento neutro, de inversos e o fechamento.
a) todas as matrizes ortogonais;
b) todas as matrizes ortogonais com
c) todas as matrizes ortogonais com
O conteúdo principal é a definição de grupo: precisamos verificar, além da associatividade (que já vale para toda multiplicação de matrizes), a existência de elemento neutro, de inversos e o fechamento.
Passo 2
Ressaltando que a multiplicação de matrizes é associativa em
, sobra checar para cada conjunto:
- se o elemento neutro
está no conjunto; - se para todo par de elementos do conjunto o produto também está no conjunto (fechamento);
- se todo elemento tem inverso dentro do conjunto.
Passo 3
Analisando (a):
O conjunto é
O conjunto é
-
satisfaz , logo está em . - Se
então
logo
.
3. Se então
e
, logo
.
Portanto (a) é grupo.
3. Se
Portanto (a) é grupo.
Passo 4
Analisando (b):
O conjunto é
O conjunto é
-
e , então . - Se
então e , logo . - Se
então e , logo .
Portanto (b) é grupo.
Passo 5
Analisando (c):
O conjunto é
O conjunto é
-
, então não pertence ao conjunto (não há elemento neutro). - Mesmo se tentássemos, a multiplicação de duas matrizes de determinante
dá , saindo do conjunto (fechamento falha).
Logo (c) não satisfaz as propriedades de grupo.
Resposta
(a) Sim.
(b) Sim.
(c) Não.
(b) Sim.
(c) Não.