Ache o comprimento de arco do gráfico da equação de A a B.
9 y=\frac{x^{3}}{12}+\frac{1}{x}; & A\left(1, \frac{13}{12}\right) & B\left(2, \frac{7}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco do gráfico da curva definida por
9y = \frac{x^3}{12} + \frac{1}{x}
entre os pontos
A\bigl(1,\tfrac{13}{12}\bigr)\quad\text{e}\quad B\bigl(2,\tfrac{7}{6}\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de arco em coordenadas cartesianas:
L = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.

Passo 2

Primeiro isolamos y e encontramos y'(x). Da equação
9y = \frac{x^3}{12} + \frac{1}{x}
vem
y = \frac{x^3}{108} + \frac{1}{9x}.
Derivando,
y'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^3}{108}\Bigr) + \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{9x}\Bigr) = \frac{x^2}{36} - \frac{1}{9x^2} = \frac{x^4 - 4}{36\,x^2}.

Passo 3

Montamos o integrando da fórmula do comprimento de arco:
1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2 = 1 + \frac{(x^4 - 4)^2}{(36\,x^2)^2} = \frac{x^8 + 1288\,x^4 + 16}{1296\,x^4}.
Logo
\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2} = \frac{\sqrt{x^8 + 1288\,x^4 + 16}}{36\,x^2},
e o comprimento é
L = \int_{1}^{2} \frac{\sqrt{x^8 + 1288\,x^4 + 16}}{36\,x^2}\,dx.

Passo 4

Esse integral não tem primitiva elementar simples, mas podemos aproximar numericamente por, por exemplo, regra de Simpson com três pontos:
f(x) = \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}.
Calculando os valores em x=1, 1{,}5 e 2 e aplicando Simpson,
L \approx \frac{1}{6}\Bigl[f(1) + 4\,f(1{,}5) + f(2)\Bigr] \approx 1{,}0012.

Resposta

O comprimento de arco entre A e B é aproximadamente
L \approx 1{,}0012.

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