Ache o comprimento de arco do gráfico da equação de A a B.
10 y+\frac{1}{4 x}+\frac{x^{3}}{3}=0; & A\left(2, \frac{67}{24}\right), & B\left(3, \frac{109}{12}\right)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco do gráfico da curva implícita
10y + \frac{1}{4x} + \frac{x^3}{3} = 0
entre os pontos A(2,\tfrac{67}{24}) e B(3,\tfrac{109}{12}).
Para resolver vamos isolar y(x), calcular y'(x) e usar a fórmula
L = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.

Passo 2

Isolando y em função de x:
10y = -\frac{1}{4x} - \frac{x^3}{3} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = -\frac{1}{40x} - \frac{x^3}{30}.

Passo 3

Calculando a derivada:
y'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{1}{40x} - \tfrac{x^3}{30}\Bigr) = \frac{1}{40x^2} \;-\;\frac{x^2}{10}.

Passo 4

Aplicando a fórmula do comprimento de arco entre x=2 e x=3:
L = \int_{2}^{3} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.

Passo 5

Substituindo y'(x) na integral:
L = \int_{2}^{3} \sqrt{1 + \Bigl(\frac{1}{40x^2} - \frac{x^2}{10}\Bigr)^2} \;dx.

Resposta

L = \int_{2}^{3} \sqrt{1 + \Bigl(\frac{1}{40x^2} - \frac{x^2}{10}\Bigr)^2} \;dx.

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