Ache expressões algébricas para as seguintes funções, especificando o seu domínio:
\operatorname{sen}(\operatorname{arctg}(x))

Passo 1

O enunciado pede para escrever uma forma algébrica para
\sin\bigl(\arctan(x)\bigr)
O conteúdo aqui é usar identidades trigonométricas e a interpretação geométrica de \arctan(x) via um triângulo retângulo.

Passo 2

Defina \theta = \arctan(x). Por definição, \tan(\theta)=x. Pense num triângulo retângulo em que
o cateto oposto a \theta vale x e o cateto adjacente vale 1.

Passo 3

Nesse triângulo, o comprimento da hipotenusa é
\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 1}.
Logo
\sin(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.
Como \theta=\arctan(x), concluímos
\sin\bigl(\arctan(x)\bigr) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.

Passo 4

O domínio de \arctan(x) é todo o conjunto dos números reais, pois \arctan\colon\mathbb{R}\to(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).
Na expressão x/\sqrt{x^2+1} o denominador nunca se anula, então o domínio também é \mathbb{R}.

Resposta

\sin\bigl(\arctan(x)\bigr) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}, \quad \text{Domínio: }\mathbb{R}.í

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