Admita que todas as variáveis sejam funções de t.
6 Se 2 y^{3}-x^{2}+4 x=-10 e \frac{d y}{d t}=-3 quando x=-2 e y=1, determine \frac{d x}{d t}.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
2y^3 - x^2 + 4x = -10
com x e y funções de t, e pede \frac{dx}{dt} quando \frac{dy}{dt}=-3, x=-2 e y=1. O conteúdo é taxas relacionadas; vamos usar diferenciação implícita em t.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a t:
\frac{d}{dt}(2y^3) - \frac{d}{dt}(x^2) + \frac{d}{dt}(4x) = \frac{d}{dt}(-10).
Isso gera
6y^2\,\frac{dy}{dt} - 2x\,\frac{dx}{dt} + 4\,\frac{dx}{dt} = 0.

Passo 3

Agrupando os termos com \frac{dx}{dt}:
(-2x + 4)\,\frac{dx}{dt} + 6y^2\,\frac{dy}{dt} = 0.

Passo 4

Isolando \frac{dx}{dt}:
\frac{dx}{dt} = -\frac{6y^2\,\frac{dy}{dt}}{-2x + 4} = \frac{6y^2\,\frac{dy}{dt}}{2x - 4}.

Passo 5

Substituindo x=-2, y=1 e \frac{dy}{dt}=-3:
\frac{dx}{dt} = \frac{6\cdot 1^2 \cdot (-3)}{2\cdot(-2) - 4} = \frac{-18}{-8} = \frac{9}{4}.

Resposta

\frac{dx}{dt} = \frac{9}{4}.

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