Admita que todas as variáveis sejam funções de t.
5 Se x^{2}+3 y^{2}+2 y=10 \mathrm{e} \frac{d x}{d t}=2 quando x=3 \mathrm{e} y=-1, determine \frac{d y}{d t}.

Passo 1

O enunciado fornece a relação implícita
x^{2} + 3y^{2} + 2y = 10
em que x e y são funções de t. Sabemos que
\frac{dx}{dt} = 2
no ponto (x,y)=(3,-1). Queremos determinar \frac{dy}{dt} usando derivação implícita em relação a t.

Passo 2

Derivando ambos os lados da relação em função de t e aplicando regra da cadeia:
\frac{d}{dt}(x^{2}) = 2x\,\frac{dx}{dt},\quad \frac{d}{dt}(3y^{2}) = 6y\,\frac{dy}{dt},\quad \frac{d}{dt}(2y) = 2\,\frac{dy}{dt},\quad \frac{d}{dt}(10) = 0.
Assim, somando as derivadas, obtemos
2x\,\frac{dx}{dt} + 6y\,\frac{dy}{dt} + 2\,\frac{dy}{dt} = 0.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm \frac{dy}{dt}:
2x\,\frac{dx}{dt} + (6y + 2)\,\frac{dy}{dt} = 0.
Isolando \frac{dy}{dt}, segue que
\frac{dy}{dt} = -\frac{2x\,\dfrac{dx}{dt}}{6y + 2}.

Passo 4

No ponto (x,y)=(3,-1) com \dfrac{dx}{dt}=2, temos
6y + 2 = 6(-1) + 2 = -4, \quad 2x\,\frac{dx}{dt} = 2\cdot3\cdot2 = 12.
Logo
\frac{dy}{dt} = -\frac{12}{-4} = 3.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dt} = 3.

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