Assinale V(erdadeiro) ou F (also):
( ) O conjunto dos operadores positivos é um cone convexo no espaço vetorial
.
( ) O conjunto dos operadores não-negativos é um subespaço vetorial de
.
( ) Os elementos da diagonal de uma matriz positiva são números positivos.
( ) Se A é auto-adjunto e
é invertível então
é auto-adjunto.
( ) Existe uma matriz positiva
com dois elementos negativos e dois positivos.
( ) Se
é um operador invertível qualquer, alguma base ortogonal de
é transformada por
numa base ortogonal.
( ) Se o operador
é auto-adjunto então o traço de
é igual à soma dos seus autovalores.
( ) O conjunto dos operadores positivos é um cone convexo no espaço vetorial
( ) O conjunto dos operadores não-negativos é um subespaço vetorial de
( ) Os elementos da diagonal de uma matriz positiva são números positivos.
( ) Se A é auto-adjunto e
( ) Existe uma matriz positiva
( ) Se
( ) Se o operador
Passo 1
O enunciado pede pra classificar sete afirmações relacionadas a operadores e matrizes em V (verdadeiro) ou F (falso). O conteúdo principal envolve definição de operador positivo (semidefinido), cones convexos, subespaços vetoriais, autoadjuntos, similaridade e propriedades espectrais como traço e autovalores.
Passo 2
O conjunto dos operadores positivos (isto é, aqueles A tais que ⟨Ax,x⟩ ≥ 0 para todo x) forma um cone convexo porque, para quaisquer A e B positivos e quaisquer α,β ≥ 0, temos αA+βB também positivo. Assim a afirmação 1 é V.
Passo 3
O conjunto dos operadores não-negativos (positivos semidefinidos) não é um subespaço vetorial, pois não fecha em escalares negativos: se A≥0, então –A ≤ 0 nem sempre satisfaz ⟨(–A)x,x⟩ ≥ 0. Logo a afirmação 2 é F.
Passo 4
Uma matriz A positiva semidefinida satisfaz ⟨Ae_i,e_i⟩ = a_{ii} ≥ 0, mas não garante a_{ii} > 0. Portanto podem existir entradas diagonais zero e a afirmação 3 (“diagonais são positivas”) é F.
Passo 5
Se A é autoadjunto e B é apenas invertível, a matriz B^{-1}AB nem sempre é autoadjunta, pois para isso precisaríamos de B unitário (B{-1}=B*). Logo a afirmação 4 é F.
Passo 6
Para a afirmação 5 basta dar um exemplo: considere
Aqui há dois elementos diagonais positivos e dois off-diagonais negativos, e os autovalores são (3±√5)/2>0, então A é positiva definida. Assim a afirmação 5 é V.
Passo 7
A menos que A preserve ângulos e comprimentos (isto é, A^TA=λI), não existe garantia de que a imagem de alguma base ortonormal seja outra base ortonormal. Portanto a afirmação 6 é F.
Passo 8
Qualquer matriz autoadjunta é diagonalizável ortogonalmente, e seu traço é invariável sob mudança de base, sendo soma de entradas da diagonal na forma canônica. Logo a afirmação 7 é V.
Resposta
V F F F V F V