Seja
um subconjunto de um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno. Prove que
é um elipsóide se, e somente se, existe um operador positivo
tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um subconjunto
de um espaço vetorial
de dimensão finita com produto interno é um elipsóide se, e somente se, existe um operador positivo
tal que
Vamos usar a definição de elipsóide como imagem da esfera unitária por um operador invertível, além de propriedades de operadores adjuntos e raízes quadradas de operadores positivos.
Passo 2
Para o sentido “se existe
positivo, então
é elipsóide”: como
é positivo e inversível, ela tem uma raiz quadrada positiva inversível
. Então para qualquer
Logo
que é exatamente a imagem da esfera unitária por um operador invertível
, ou seja, um elipsóide.
Passo 3
Para o sentido “se
é elipsóide, então existe
positivo”: por hipótese há um operador invertível
tal que
Então
também é invertível. Definimos
Esse operador é positivo, pois para todo
Além disso
Passo 4
Combinando os dois sentidos, concluímos que
é elipsóide se, e somente se, existe operador positivo
em
com
Resposta
Para o ⇒, tomamos
e vemos que
, um elipsóide. Para o ⇐, dado
invertível com
, basta definir
, que é positivo e satisfaz
.
Assim, está provada a equivalência.
Assim, está provada a equivalência.