Seja Sigma um subconjunto de um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno. Prove que Sigma é um elipsóide se, e somente se, existe um operador positivo A: E E tal que
Sigma=v in E ;lang<= A v, vrang<==1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um subconjunto Sigma de um espaço vetorial E de dimensão finita com produto interno é um elipsóide se, e somente se, existe um operador positivo A:Eto E tal que
Sigma=vin E:lang<= A v,vrang<==1
Vamos usar a definição de elipsóide como imagem da esfera unitária por um operador invertível, além de propriedades de operadores adjuntos e raízes quadradas de operadores positivos.

Passo 2

Para o sentido “se existe A positivo, então Sigma é elipsóide”: como A é positivo e inversível, ela tem uma raiz quadrada positiva inversível S=A^1/2. Então para qualquer vin E
lang<= A v,vrang<==lang<= S^2v,vrang<==lang<= Sv,Svrang<==|Sv|^2
Logo
Sigma=v:|Sv|^2=1=S^-1(u:|u|=1),
que é exatamente a imagem da esfera unitária por um operador invertível S^-1, ou seja, um elipsóide.

Passo 3

Para o sentido “se Sigma é elipsóide, então existe A positivo”: por hipótese há um operador invertível T:Eto E tal que
Sigma=T(uin E:|u|=1)
Então T^-1 também é invertível. Definimos
A=(T^-1)^*,T^-1
Esse operador é positivo, pois para todo v
lang<= Av,vrang<==lang<= T^-1v,,T^-1vrang<==|T^-1v|^2>=0
Além disso
lang<= Av,vrang<==1iff|T^-1v|=1iff vin T(u:|u|=1)=Sigma

Passo 4

Combinando os dois sentidos, concluímos que Sigma é elipsóide se, e somente se, existe operador positivo A em E com
Sigma=v:lang<= A v,vrang<==1

Resposta

Para o ⇒, tomamos S=A^1/2 e vemos que
Sigma=S^-1(|u|=1), um elipsóide. Para o ⇐, dado T invertível com Sigma=T(|u|=1), basta definir
A=(T^-1)^*T^-1, que é positivo e satisfaz
Sigma=v:lang<= Av,vrang<==1.
Assim, está provada a equivalência.

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