Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) O vetor pertence ao subespaço gerado por e .
( ) Qualquer vetor em pode ser expresso como combinação linear dos vetores e .
( ) Se então .
( ) Se então .
( ) Se uma variedade afim contém o vetor zero então é um subespaço vetorial de E.
Passo 1
O exercício pede para marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F) em cinco afirmações que envolvem combinação linear, subespaços gerados (span), relações de inclusão de spans e definição de variedade afim e subespaço vetorial.
Passo 2
Para a primeira afirmação, verificamos se o vetor [w=(1,-1,2)) pertence a com e . Precisamos achar escalares tais que
Da primeira equação vem (a=1-3b]. Substituindo na segunda:
logo . Mas na terceira equação teríamos
ou seja, não há solução e a afirmação é falsa.
Passo 3
A segunda afirmação diz que dois vetores em R^3 podem gerar todo o espaço. Para gerar R^3 precisamos de pelo menos três vetores linearmente independentes, mas aqui só há dois, portanto é impossível cobrir todo R^3. Logo é falsa.
Passo 4
A terceira afirmação afirma que se X subset Y então span(X) subset span(Y). Isso decorre direto da definição: qualquer combinação linear de elementos de X é também combinação de elementos de Y. Logo é verdadeira.
Passo 5
A quarta afirmação inverte a anterior: se span(X) subset span(Y) então X subset Y. Isso não vale em geral, pois um elemento de X pode estar na combinação de elementos de Y sem pertencer a Y diretamente. Por exemplo, X=(1,1) e Y=(1,0),(0,1) em R^2 têm span(X)subsetspan(Y) mas (1,1)notin Y. Logo é falsa.
Passo 6
A quinta afirmação diz que uma variedade afim Vsubset E que contém o vetor zero é um subespaço vetorial. Pela definição, variedade afim é da forma v0 + W com W subespaço. Se 0in V, então 0 = v0 + w para algum win W, o que implica v0 = -win W. Assim V = W e é um subespaço. Logo é verdadeira.
Resposta
(F) (F) (V) (F) (V)
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 2.14