Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) O vetor w=(1,-1,2) pertence ao subespaço gerado por u= (1,2,3) e v=(3,2,1).
( ) Qualquer vetor em R^3 pode ser expresso como combinação linear dos vetores u=(-5,3,2) e v=(3,-1,3).
( ) Se X subset Y então S(X) subset S(Y).
( ) Se S(X) subset S(Y) então X subset Y.
( ) Se uma variedade afim V subset E contém o vetor zero então V é um subespaço vetorial de E.

Passo 1

O exercício pede para marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F) em cinco afirmações que envolvem combinação linear, subespaços gerados (span), relações de inclusão de spans e definição de variedade afim e subespaço vetorial.

Passo 2

Para a primeira afirmação, verificamos se o vetor [w=(1,-1,2)) pertence a com e . Precisamos achar escalares tais que
Da primeira equação vem (a=1-3b]. Substituindo na segunda:
logo . Mas na terceira equação teríamos
ou seja, não há solução e a afirmação é falsa.

Passo 3

A segunda afirmação diz que dois vetores em R^3 podem gerar todo o espaço. Para gerar R^3 precisamos de pelo menos três vetores linearmente independentes, mas aqui só há dois, portanto é impossível cobrir todo R^3. Logo é falsa.

Passo 4

A terceira afirmação afirma que se X subset Y então span(X) subset span(Y). Isso decorre direto da definição: qualquer combinação linear de elementos de X é também combinação de elementos de Y. Logo é verdadeira.

Passo 5

A quarta afirmação inverte a anterior: se span(X) subset span(Y) então X subset Y. Isso não vale em geral, pois um elemento de X pode estar na combinação de elementos de Y sem pertencer a Y diretamente. Por exemplo, X=(1,1) e Y=(1,0),(0,1) em R^2 têm span(X)subsetspan(Y) mas (1,1)notin Y. Logo é falsa.

Passo 6

A quinta afirmação diz que uma variedade afim Vsubset E que contém o vetor zero é um subespaço vetorial. Pela definição, variedade afim é da forma v0 + W com W subespaço. Se 0in V, então 0 = v0 + w para algum win W, o que implica v0 = -win W. Assim V = W e é um subespaço. Logo é verdadeira.

Resposta

(F) (F) (V) (F) (V)

Exercícios de Livros Relacionados