Seja F o subespaço de R^3 gerado pelos vetores u=(1,1,1) e v=(1,-1,-1). Ache números a, b, c com a seguinte propriedade: um vetor w=(x, y, z) pertence a F se, e somente se, a x+by+cz=0.

Passo 1

O enunciado pede uma equação do tipo a x + b y + c z = 0 cujo conjunto de soluções seja exatamente o subespaço F=spanu,v, com u=(1,1,1) e v=(1,-1,-1). O conteúdo envolvido é encontrar o vetor normal ao plano gerado por u e v, ou seja, a ortogonal a ambos.

Passo 2

Para que (a,b,c) seja ortogonal a u e a v), precisamos resolver o sistema de equações
acdot1 + bcdot1 + ccdot1 = 0
acdot1 + bcdot(-1) + ccdot(-1) = 0
que se traduz em
a + b + c = 0,
a - b - c = 0

Passo 3

Subtraindo a segunda da primeira obtemos
(a+b+c) - (a - b - c) = 0 - 0 implies 2b + 2c = 0 implies b + c = 0 implies b = -c

Passo 4

Substituindo b = -c em a + b + c = 0 a + (b+c) = a + 0 = 0, logo a = 0. Assim qualquer múltiplo de (0,1,-1) funciona.

Passo 5

Escolhendo o mais simples, tomamos a = 0, b = 1 e c = -1. A equação do plano passa a ser
0,x + 1,y + (-1),z = 0 iff y - z = 0

Resposta

a = 0, b = 1, c = -1, de modo que a equação é y - z = 0.

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