Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais?
As seqüências
tais que
para todo
.
As seqüências
Passo 1
O enunciado pede para ver se o conjunto S das sequências
em
que satisfazem a relação de recorrência linear homogênea
Para ser subespaço precisamos conferir três condições: conter a sequência zero, fechar para soma e fechar para multiplicação escalar
Para ser subespaço precisamos conferir três condições: conter a sequência zero, fechar para soma e fechar para multiplicação escalar
Passo 2
A sequência zero
claramente satisfaz
, então
Passo 3
Sejam
. Para todo
, temos
Passo 4
Somando essas igualdades vem
que mostra que
também satisfaz a recorrência, logo
Passo 5
Para um escalar
e
, multiplicando a recorrência por
dá
logo
. Assim, S é fechado sob soma e escalar.
Passo 6
Como S contém o zero e é fechado sob soma e escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto é de fato um subespaço vetorial de
.