Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais?
As seqüências (xn) in R^infty tais que xn+2-3 xn=xn+1 para todo n.

Passo 1

O enunciado pede para ver se o conjunto S das sequências x=(xn)ninN em R^infty que satisfazem a relação de recorrência linear homogênea
Para ser subespaço precisamos conferir três condições: conter a sequência zero, fechar para soma e fechar para multiplicação escalar

Passo 2

A sequência zero 0=(0,0,0,dots) claramente satisfaz 0n+2-3cdot 0n=0=0n+1, então 0in S

Passo 3

Sejam x, yin S. Para todo n, temos
xn+2-3xn = xn+1, yn+2-3yn = yn+1

Passo 4

Somando essas igualdades vem
(xn+2+yn+2) -3(xn+yn) = xn+1+yn+1,
que mostra que x+y também satisfaz a recorrência, logo x+yin S

Passo 5

Para um escalar alphainR e xin S, multiplicando a recorrência por alpha
alpha xn+2-3alpha xn = alpha xn+1,
logo alpha xin S. Assim, S é fechado sob soma e escalar.

Passo 6

Como S contém o zero e é fechado sob soma e escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de R^infty.

Resposta

O conjunto é de fato um subespaço vetorial de R^infty.

Exercícios de Livros Relacionados