2.2 Assumindo o Postulado de Bertrand mostre que para n>1, o n-ésimo número primo positivo pn satisfaz a desigualdade pn<2^n.

Passo 1

Neste exercício queremos mostrar que para todo inteiro n>1 o n-ésimo primo p_n satisfaz p_n<2^n. Vamos usar indução matemática e o Postulado de Bertrand, que garante que para todo m>1 existe um primo q tal que m<q<2m.

Passo 2

Passo base: tomamos n=2. O segundo primo é p_2=3 e temos 3<4=2^2. Logo, a desigualdade vale para n=2.

Passo 3

Passo de indução: suponha que para algum n≥2 valha p_n<2^n. Pelo Postulado de Bertrand aplicado a m=p_n, existe um primo q com p_n<q<2p_n. Como a sequência de primos é crescente, o menor primo acima de p_n é p_{n+1}, logo p_{n+1}≤q<2p_n.

Passo 4

Concluímos usando a hipótese de indução p_n<2^n que p_{n+1}<2·2n=2{n+1}. Assim a desigualdade se transmite de n para n+1 e, pelo princípio da indução, vale p_n<2^n para todo n>1.

Resposta

pn<2^n para todo n>1.

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