22 Um cabo de 30 m de comprimento e 10 cm de diâmetro é submergido em água do mar. Em virtude da corrosão, a área da superfície do cabo decresce à razão de
ano. Ignorando a corrosão nas extremidades do cabo, ache a taxa à qual o diâmetro está diminuindo.
Passo 1
O enunciado nos dá um cabo cilíndrico de comprimento
m submerso em água do mar, cujo diâmetro inicial é
cm. A corrosão faz a área lateral do cabo decrescer à razão de
cm
/ano (sinal negativo indica diminuição). Ignorando as extremidades, queremos encontrar a taxa
de variação do diâmetro.
Passo 2
Como só a superfície lateral sofre corrosão, a área lateral de um cilindro vale
onde
é o diâmetro e
o comprimento (em cm). Note que
é constante.
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em função do tempo
, obtemos
Passo 4
Convertendo o comprimento para centímetros, temos
m
cm. Substituindo
cm
/ano e
cm na expressão da derivada,