22 Um cabo de 30 m de comprimento e 10 cm de diâmetro é submergido em água do mar. Em virtude da corrosão, a área da superfície do cabo decresce à razão de 4.500 \mathrm{~cm}^{2} / ano. Ignorando a corrosão nas extremidades do cabo, ache a taxa à qual o diâmetro está diminuindo.

Passo 1

O enunciado nos dá um cabo cilíndrico de comprimento L = 30 m submerso em água do mar, cujo diâmetro inicial é d = 10 cm. A corrosão faz a área lateral do cabo decrescer à razão de dA/dt = -4500 cm ^2/ano (sinal negativo indica diminuição). Ignorando as extremidades, queremos encontrar a taxa dd/dt de variação do diâmetro.

Passo 2

Como só a superfície lateral sofre corrosão, a área lateral de um cilindro vale
A = \pi \, d \, L,
onde d é o diâmetro e L o comprimento (em cm). Note que L é constante.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em função do tempo t, obtemos
\frac{dA}{dt} = \pi \, L \,\frac{dd}{dt}.

Passo 4

Convertendo o comprimento para centímetros, temos L = 30 m = 3000 cm. Substituindo dA/dt = -4500 cm ^2/ano e L = 3000 cm na expressão da derivada,
-4500 = \pi \times 3000 \times \frac{dd}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dd}{dt} = \frac{-4500}{3000\,\pi} = -\frac{3}{2\pi}\\ \text{cm/ano}.

Resposta

\displaystyle \frac{dd}{dt} = -\frac{3}{2\pi}\\ \text{cm/ano}.

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