13 Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente à razão de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 2,5 \mathrm{~m} acima do solo?

Passo 1

O enunciado descreve uma escada de comprimento constante 6 m apoiada em uma parede vertical. A base da escada desliza horizontalmente com velocidade constante \tfrac{dx}{dt}=1 m/s. Queremos saber a velocidade \tfrac{dy}{dt} com que o topo da escada se desloca verticalmente quando a altura é y=2,5 m. O conteúdo chave é taxa de variações relacionadas, usando o teorema de Pitágoras e derivação implícita.

Passo 2

Denotando por x(t) a distância horizontal da base ao pé da parede e por y(t) a altura do topo, a relação fixa é
x^2 + y^2 = 6^2.

Passo 3

Derivando ambos os lados da relação em função do tempo t, obtemos
2x\,\frac{dx}{dt} \;+\;2y\,\frac{dy}{dt} \;=\;0.
Isolando \tfrac{dy}{dt}, vem
\frac{dy}{dt} = -\,\frac{x}{y}\,\frac{dx}{dt}.

Passo 4

No instante em que y=2,5 m, calculamos
x = \sqrt{6^2 - (2,5)^2} = \sqrt{36 - 6,25} = \sqrt{29,75} \approx 5,45\text{ m}.

Passo 5

Substituindo \tfrac{dx}{dt}=1 m/s, x\approx5,45 m e y=2,5 m na fórmula de \tfrac{dy}{dt}, obtemos
\frac{dy}{dt} = -\,\frac{5,45}{2,5}\times1 \approx -2,18\text{ m/s}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dt}\approx -2,18\text{ m/s}, isto é, o topo desce a aproximadamente 2,18 m/s.

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