Em cada caso, identifique a cônica
, determine o comprimento do latus rectum, dos eixos, a posição dos focos, vértices e da diretriz. Determine a equação cartesiana de
e faça um esboço da curva no plano.
,
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares:
. É um problema de se reconhecer uma cônica na forma polar
, achar seus parâmetros (e, d), classificar, depois passar para a forma cartesiana e extrair vértices, focos, eixos e diretriz.
Passo 2
Reescrevendo o denominador:
. Logo
Passo 3
Dessa forma temos
e
. Como
, a curva é uma hipérbole com foco na origem e diretriz vertical.
Passo 4
Para uma hipérbole polar:
. Logo
Passo 5
E
Passo 6
O comprimento do latus rectum vale
Passo 7
Os comprimentos dos eixos são: eixo transverso
e eixo conjugado
.
Passo 8
Passando para coordenadas cartesianas:
e
. Então
Passo 9
Quadrando e simplificando obtemos
Passo 10
Dividindo por
dá a forma padrão
Passo 11
Dessa equação reconhecemos centro
, com
- vértices em
e , - focos em
onde , i.e. e .
Passo 12
As diretrizes são as retas
Passo 13
A diretriz usada na forma polar
é
.
Passo 14
Esboço: hipérbole centrada em
, ramos abertos horizontalmente, assíntotas
.
Resposta
Conica: hipérbole com excentricidade
.\nLatus rectum:
.\nEixos: eixo transverso
, conjugado
.\nFocos:
e
.\nVértices:
e
.\nDiretriz principal:
.\nEquação cartesiana: