Em cada caso, identifique a cônica C, determine o comprimento do latus rectum, dos eixos, a posição dos focos, vértices e da diretriz. Determine a equação cartesiana de C e faça um esboço da curva no plano.
C: rho=32-4 cos theta,

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares: rho=32-4costheta. É um problema de se reconhecer uma cônica na forma polar rho=dfrace d1pm ecostheta, achar seus parâmetros (e, d), classificar, depois passar para a forma cartesiana e extrair vértices, focos, eixos e diretriz.

Passo 2

Reescrevendo o denominador: 2-4costheta=2(1-2costheta). Logo
rho=32-4costheta=3/21-2costheta

Passo 3

Dessa forma temos e=2 e d=3/4. Como e>1, a curva é uma hipérbole com foco na origem e diretriz vertical.

Passo 4

Para uma hipérbole polar: a=dfrace de^2-1. Logo
a=2cdot(3/4)2^2-1=3/23=12

Passo 5

E
b=araize^2-1=12raiz3=raiz32

Passo 6

O comprimento do latus rectum vale
L=2b^2a=2cdot(3/4)1/2=3

Passo 7

Os comprimentos dos eixos são: eixo transverso 2a=1 e eixo conjugado 2b=raiz3.

Passo 8

Passando para coordenadas cartesianas: rho=raizx^2+y^2 e costheta=x/rho. Então
rho(2-4costheta)=3implies2raizx^2+y^2-4x=3

Passo 9

Quadrando e simplificando obtemos
4(x^2+y^2)=(3+4x)^2implies3(x+1)^2-y^2=34

Passo 10

Dividindo por 3/4 dá a forma padrão
(x+1)^21/4-y^23/4=1

Passo 11

Dessa equação reconhecemos centro (-1,0), com
  • vértices em (-1pm a,0)=(-1.5,0) e (-0.5,0),
  • focos em (-1pm c,0) onde c=raiza^2+b^2=1, i.e. (-2,0) e (0,0).

Passo 12

As diretrizes são as retas
x+1=pmae=pm0.25implies x=-0.75 e x=-1.25

Passo 13

A diretriz usada na forma polar 1-2costheta é x=-0.75.

Passo 14

Esboço: hipérbole centrada em (-1,0), ramos abertos horizontalmente, assíntotas y=pmba(x+1)=pmraiz3,(x+1).

Resposta

Conica: hipérbole com excentricidade e=2.\nLatus rectum: L=3.\nEixos: eixo transverso 2a=1, conjugado 2b=raiz3.\nFocos: (-2,0) e (0,0).\nVértices: (-1.5,0) e (-0.5,0).\nDiretriz principal: x=-tfrac34.\nEquação cartesiana: (x+1)^21/4-y^23/4=1

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