Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
b) Todas as matrizes triangulares.
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar o conjunto de todas as matrizes quadradas que são triangulares e dizer se nesse conjunto as matrizes são sempre invertíveis, nunca invertíveis ou se podem ou não ser invertíveis. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a relação entre determinante e invertibilidade. Vamos lembrar que uma matriz é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular. Uma matriz quadrada de ordem é dita triangular se todos os seus elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal são zero. Por exemplo, uma matriz triangular superior tem a forma
Um fato fundamental é que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da sua diagonal principal. Ou seja, se
A = (aij)i,j=1^n
é triangular, então
det(A) = a11,a22,cdots,ann
Passo 3
Pelo critério de invertibilidade, A é invertível se, e somente se, det(A)neq 0. No caso de matrizes triangulares, isso equivale a exigir que nenhum dos elementos a11,a22,dots,ann seja zero. Se algum aii=0, o produto vira zero e a matriz não tem inversa; se todos aiineq0, o produto é não zero e a matriz é invertível.
Como o enunciado considera todas as matrizes triangulares, nesse conjunto entrariam tanto aquelas cuja diagonal principal tem algum zero (não invertíveis) quanto aquelas cuja diagonal é toda não nula (invertíveis). Logo, não é verdade que sejam sempre invertíveis nem que sejam sempre não invertíveis: vai depender dos valores da diagonal.
Resposta
Podem ou não ter inversa.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Jerônimo c. Pellegrini - Álgebra Linear - 130ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 90.b