Para cada hipérbole, escreva a equação na forma padrão e determine o centro, os vértices e focos.
16 x^2-9 y^2+144=0

Passo 1

A questão dá a equação 16x^2-9y^2+144=0 e pede para escrevê-la na forma padrão de uma hipérbole, além de determinar o centro, os vértices e os focos. O conteúdo é geometria analítica: hipérboles, e vamos precisar isolar os termos quadráticos e dividir pelo termo constante para obter a forma padrão.

Passo 2

Começamos reorganizando a equação:
16x^2-9y^2=-144
Multiplicando ambos os lados por -1 fica
9y^2-16x^2=144
e então dividimos tudo por 144 para chegar à forma padrão:
y^216-x^29=1

Passo 3

Comparando com a forma geral de hipérbole vertical
(y-k)^2a^2-(x-h)^2b^2=1,
vemos que não há translação (logo h=0 e k=0), e que a^2=16, b^2=9. Portanto o centro é (0,0).

Passo 4

Para achar os vértices na hipérbole vertical, usamos (h, kpm a), ou seja:
(0,pm4) = (0,4) e (0,-4)

Passo 5

Para encontrar os focos, calculamos c pela relação c^2=a^2+b^2:
c^2=16+9=25 Rightarrow c=5
Assim os focos estão em (h, kpm c), ou seja:
(0,pm5) = (0,5) e (0,-5)

Resposta

Equação na forma padrão: y^216-x^29=1; Centro: (0,0); Vértices: (0,4) e (0,-4); Focos: (0,5) e (0,-5).

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