Em cada item, determine uma equação polar para a cônica C, determinando o comprimento do semi-latus rectum e faça um esboço da curva no plano.
C: 3 x^2+2 y-1,

Passo 1

O enunciado dá a parábola definida por
3x^2+2y-1=0
Queremos a equação polar dessa cônica, determinar o semi-latus rectum e esboçar a curva. Vamos usar a definição de cônica pelo foco e diretriz e a forma geral em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, isolamos y para pôr na forma canônica de parábola. De
3x^2+2y-1=0
segue
y=-tfrac32x^2+tfrac12
Reescrevendo como
x^2=4p, (y-k)
vemos que
x^2=-(tfrac23)(y-tfrac12)
Logo 4p=-(2/3), ou seja p=-1/6, e o vértice é (h,k)=(0,1/2).

Passo 3

Com p=-1/6, a parábola abre para baixo. O foco fica em
(h, k+p)=(0,tfrac12-tfrac16)=(0,tfrac13)
e a diretriz é
y=k-p=tfrac12+tfrac16=tfrac23

Passo 4

Agora adotamos o foco como polo das coordenadas polares. Chamando
x'=x-0=rcostheta,
y'=y-tfrac13=rsintheta,
a diretriz fica y'=tfrac13, cuja distância ao polo é d=1/3. Como para parábola a excentricidade e=1, a equação polar geral
r=ed1+esintheta
vira
r=1/31+sintheta

Passo 5

O semi-latus rectum nessa forma polar é l=ed=1/3. Para esboçar, note que a parábola está simétrica em relação ao eixo vertical passando pelo foco em (0,1/3) e abre para baixo.

Resposta

A equação polar é
r=1/31+sintheta
e o comprimento do semi-latus rectum é 1/3.

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