26.24 Calcule (1,03)^10 para cinco casas significativas.

SOLUÇÃO

(1,03)^10=(1+0,03)^10 & =1+10(0,03)+10 cdot 91 cdot 2(0,03)^2+10 cdot 9 cdot 81 cdot 2 cdot 3(0,03)^3+10 cdot 9 cdot 8 cdot 71 cdot 2 cdot 3 cdot 4(0,03)^4+cdots & =1+0,3+0,0405+0,00324+0,00017+cdots=1,3439
Observe que todos os 11 termos da expansão de (0,03+1)^10 seriam necessários para calcular (1,03)^10.

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1,03)^10 com cinco casas significativas. O conteúdo principal aqui é o Teorema Binomial, e vamos precisar usar a expansão (1+x)^n=sumk=0^nbinomnkx^k e truncar quando a contribuição dos termos seguintes for menor que o critério de arredondamento.

Passo 2

Pela fórmula do binômio de Newton, com n=10 e x=0,03, temos:
(1+0,03)^10=sumk=0^10binom10k(0,03)^k

Passo 3

Calculamos os primeiros termos Tk=binom10k(0,03)^k para k=0,1,2,3,4:
T0=1, T1=10cdot0,03=0,3, T2=45cdot(0,03)^2=0,0405,
T3=120cdot(0,03)^3=0,00324, T4=210cdot(0,03)^4=0,0001701

Passo 4

Somando esses cinco termos, obtemos a soma parcial:
S4=T0+T1+T2+T3+T4=1+0,3+0,0405+0,00324+0,0001701=1,3439101

Passo 5

Agora, o próximo termo T5=252cdot(0,03)^5approx0,0000061 é menor que 0,5times10^-4=0,00005, que é o critério de meia unidade na quinta casa significativa. Isso significa que incluir termos a partir de k=5 não altera o valor arredondado em cinco casas significativas.

Passo 6

Portanto, basta arredondar S4=1,3439101 para cinco dígitos significativos. Observando os cinco primeiros dígitos 1,3,4,3,9 e vendo que o próximo dígito é 1<5, o valor final fica 1,3439.

Resposta

1,3439

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