Problemas Complementares
Expanda pela fórmula binomial.
(f) (a-2 b)^6

Passo 1

O exercício pede para expandir (a-2b)^6 usando o Teorema Binomial. O conteúdo é expansão de potência de binômio, e precisaremos da fórmula para calcular os coeficientes binomiais binomnk.

Passo 2

Segundo o Teorema Binomial, para n inteiro não-negativo e quaisquer x,y, temos
(x+y)^n = sumk=0^n binomnk,x^n-k,y^k
No nosso caso, identificamos x=a, y=-2b e n=6. Portanto,
(a-2b)^6 = sumk=0^6 binom6k,a^6-k,(-2b)^k

Passo 3

Vamos calcular cada termo da soma de k=0 a 6:
Para k=0:
binom60a^6(-2b)^0 = a^6
Para k=1:
binom61a^5(-2b) = 6cdot a^5cdot(-2b) = -12a^5b
Para k=2:
binom62a^4(-2b)^2 = 15cdot a^4cdot4b^2 = 60a^4b^2
Para k=3:
binom63a^3(-2b)^3 = 20cdot a^3cdot(-8b^3) = -160a^3b^3
Para k=4:
binom64a^2(-2b)^4 = 15cdot a^2cdot16b^4 = 240a^2b^4
Para k=5:
binom65a(-2b)^5 = 6cdot acdot(-32b^5) = -192ab^5
Para k=6:
binom66(-2b)^6 = 1cdot64b^6 = 64b^6

Passo 4

Agora, organizando todos os termos em ordem decrescente de potências de a, chegamos à expansão completa do binômio:
(a-2b)^6 = a^6 - 12a^5b + 60a^4b^2 - 160a^3b^3 + 240a^2b^4 - 192ab^5 + 64b^6.

Resposta

a^6 - 12a^5b + 60a4b2 - 160a3b3 + 240a2b4 - 192ab^5 + 64b^6

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