Calcule a distância do ponto P(-1,0,1) ao plano de equação \pi: x+2 z=3.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto P(-1,0,1) e o plano \pi\colon x+2z=3. Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano no espaço.

Passo 2

Reescrevemos a equação do plano no formato geral Ax+By+Cz+D=0. A partir de
\pi: x+2z=3
temos
\pi: x+0y+2z-3=0.

Passo 3

Identificamos os coeficientes do plano e as coordenadas do ponto:
A=1, B=0, C=2, D=-3
e
(x_0,y_0,z_0)=(-1,0,1).

Passo 4

Aplicamos a fórmula da distância
d = \frac{\bigl|A\,x_0 + B\,y_0 + C\,z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

Passo 5

Calculamos numerador e denominador:
A\,x_0 + B\,y_0 + C\,z_0 + D = 1\cdot(-1) + 0\cdot0 + 2\cdot1 -3 = -1 + 2 -3 = -2,
\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}.
Logo
d = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}} (que também pode ser escrita como \frac{2\sqrt{5}}{5}).

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