Calcule as integrais abaixo usando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{0}^{1} 5 x^{3}-4 x^{2}+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(5x^{3}-4x^{2}+2\bigr)\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos primeiro encontrar uma primitiva (antiderivada) do integrando e depois avaliar nos limites de 0 a 1.

Passo 2

Para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, precisamos de uma função F(x) tal que
F'(x) = 5x^{3}-4x^{2}+2.
Integramos termo a termo:
\int 5x^{3}\,dx = \frac{5}{4}x^{4}, \quad \int (-4x^{2})\,dx = -\frac{4}{3}x^{3}, \quad \int 2\,dx = 2x.
Logo, uma antiderivada é
F(x) = \frac{5}{4}x^{4} \;-\;\frac{4}{3}x^{3} \;+\;2x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{1}\bigl(5x^{3}-4x^{2}+2\bigr)\,dx = F(1) - F(0).
Calculamos:
F(1) = \frac{5}{4}\cdot1^{4} - \frac{4}{3}\cdot1^{3} + 2\cdot1 = \frac{5}{4} - \frac{4}{3} + 2,
F(0) = \frac{5}{4}\cdot0 - \frac{4}{3}\cdot0 + 2\cdot0 = 0.

Passo 4

Agora simplificamos F(1):
\frac{5}{4} - \frac{4}{3} + 2 = \frac{15}{12} - \frac{16}{12} + \frac{24}{12} = \frac{23}{12}.
Como F(0)=0, o valor da integral é \tfrac{23}{12}.

Resposta

\frac{23}{12}

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