Calcule a integral.
\int \frac{x^{3}+1}{x(x-1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
\int \frac{x^{3}+1}{x\,(x-1)^{3}}\,dx.
O conteúdo é integração de frações parciais: vamos decompor a função em termos mais simples e depois integrar cada parcela.

Passo 2

Assumimos uma decomposição do tipo
\frac{x^{3}+1}{x\,(x-1)^{3}} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}}+\frac{D}{(x-1)^{3}}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x\,(x-1)^{3} para obter a identidade de polinômios
x^{3}+1 =A\,(x-1)^{3}+B\,x\,(x-1)^{2}+C\,x\,(x-1)+D\,x.

Passo 4

Expandindo cada termo do lado direito e agrupando em potências de x\), temos \[A(x^{3}-3x^{2}+3x-1) +B(x^{3}-2x^{2}+x) +C(x^{2}-x) +D\,x.
Somando os coeficientes:
  • x^{3}:\;A+B - x^{2}:\;-3A-2B+C - x^{1}:\;3A+B-C+D - x^{0}:\;-A Comparando com x^{3}+0x^{2}+0x+1, formam-se as equações
\begin{cases} A+B=1,\\\\ -3A-2B+C=0,\\\\ 3A+B-C+D=0,\\\\ -A=1. \end{cases}
Da última vem (A=-1]. Substituindo:
B=1-A=2,\quad -3(-1)-2\cdot2+C=0\implies C=1,\quad 3(-1)+2-1+D=0\implies D=2.

Passo 5

Assim a integral fica
\int\Bigl(-\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{2}{(x-1)^{3}}\Bigr)\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int -\frac{1}{x}\,dx=-\ln\lvert x\rvert, \quad \int \frac{2}{x-1}\,dx=2\ln\lvert x-1\rvert,
\int \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx =\int (x-1)^{-2}\,dx =-(x-1)^{-1} =-\frac{1}{x-1},
\int \frac{2}{(x-1)^{3}}\,dx =2\int (x-1)^{-3}\,dx =2\cdot\frac{(x-1)^{-2}}{-2} =-\frac{1}{(x-1)^{2}}.

Resposta

\int \frac{x^{3}+1}{x\,(x-1)^{3}}\,dx =-\ln\lvert x\rvert +2\ln\lvert x-1\rvert -\frac{1}{x-1} -\frac{1}{(x-1)^{2}} +C.

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