Calcule a integral.
\int \frac{1}{x+x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{1}{x + x^{3}}\,dx.
Aqui a ideia é fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador em
x + x^{3} = x\,(1 + x^{2}).

Passo 3

Escrevemos a fração como soma de termos mais simples:
\frac{1}{x(1 + x^{2})} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{1 + x^{2}}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x(1+x^{2}) e igualando coeficientes, obtemos
1 = A(1 + x^{2}) + (Bx + C)\,x = A + A x^{2} + B x^{2} + C x.
Comparando coeficientes de cada potência de x:
  • termo constante: A = 1,
  • termo em x: C = 0,
  • termo em x^{2}: A + B = 0\implies B = -1.

Passo 5

Substituindo A=1, B=-1, C=0, fica
\frac{1}{x(1 + x^{2})} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^{2}}.
A gente integra cada parcela:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert, \qquad \int \frac{x}{1 + x^{2}}\,dx = \tfrac12\ln(1 + x^{2}).
Como o segundo vem com sinal negativo, o resultado final é
\ln\lvert x\rvert - \tfrac12\ln(1 + x^{2}) + C.

Resposta

\ln\lvert x\rvert \;-\;\tfrac12\ln(1 + x^{2}) \;+\; C.

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