Calcule a integral.
\int \frac{1}{\left(x^{2}+25\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{1}{\bigl(x^{2}+25\bigr)^{3/2}}\,dx.
Este tipo de integral é do formato \displaystyle \int \frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}, que costuma ser resolvido com substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 5\tan\theta,\quad dx = 5\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,
o que implica
x^{2}+25 = 25\tan^{2}\theta+25 = 25\operatorname{sec}^{2}\theta \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x^{2}+25\bigr)^{3/2} = \bigl(25\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)^{3/2} = 125\,\operatorname{sec}^{3}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{1}{(x^{2}+25)^{3/2}}\,dx = \int \frac{5\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{125\,\operatorname{sec}^{3}\theta} = \frac{5}{125}\int \cos\theta\,d\theta = \frac{1}{25}\int \cos\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrando em \theta, dá
\frac{1}{25}\int \cos\theta\,d\theta = \frac{1}{25}\sin\theta + C.
Para voltar a x, usamos
\sin\theta = \frac{\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta} = \frac{\tfrac{x}{5}}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+25}}.
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\frac{1}{25}\sin\theta = \frac{1}{25}\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+25}} = \frac{x}{25\sqrt{x^{2}+25}}.

Resposta

\int \frac{1}{(x^{2}+25)^{3/2}}\,dx = \frac{x}{25\sqrt{x^{2}+25}} + C.

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