Calcule a integral.
\int \operatorname{arctg} 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \arctan(5x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes.

Passo 2

Escolhemos na integração por partes
u = \arctan(5x), \quad dv = dx.
Logo
du = \frac{5}{1+25x^2}\,dx, \quad v = \int dv = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
obtemos
\int \arctan(5x)\,dx = x\arctan(5x) - \int x \cdot \frac{5}{1+25x^2}\,dx.

Passo 4

Para avaliar
\int \frac{5x}{1+25x^2}\,dx,
fazemos a substituição
t = 1 + 25x^2 \quad\Longrightarrow\quad dt = 50x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{50}.

Passo 5

Substituindo em
\int \frac{5x}{1+25x^2}\,dx = 5 \int \frac{x\,dx}{t} = 5 \int \frac{1}{t}\,\frac{dt}{50} = \frac{1}{10}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{10}\ln|t| + C_1.
Voltando a x,
\int \frac{5x}{1+25x^2}\,dx = \frac{1}{10}\ln\bigl(1+25x^2\bigr) + C_1.

Passo 6

Substituindo no resultado da partes e absorvendo C_1 em uma constante geral C, fica
\int \arctan(5x)\,dx = x\arctan(5x) - \frac{1}{10}\ln\bigl(1+25x^2\bigr) + C.

Resposta

x\arctan(5x) - \frac{1}{10}\ln\bigl(1+25x^2\bigr) + C.

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