Calcule a integral por meio da substituição indicada, e expresse a resposta em termos de x.
\int \frac{5 x}{\sqrt{x^{2}-3}} d x;
u=x^{2}-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{5x}{\sqrt{x^{2}-3}}\,dx
usando a substituição indicada u=x^{2}-3.

Passo 2

Com u=x^{2}-3 temos
du = 2x\,dx
ou seja
x\,dx = \frac{du}{2}.
Além disso \sqrt{x^{2}-3}=\sqrt{u}.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \frac{5x}{\sqrt{x^{2}-3}}\,dx =5\int \frac{x\,dx}{\sqrt{u}} =5\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2} =\frac{5}{2}\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{5}{2}\int u^{-\tfrac12}\,du =\frac{5}{2}\cdot\frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} =5\,u^{\tfrac12}+C.
Voltando a x (pois u=x^{2}-3):
5\,\sqrt{x^{2}-3}+C.

Resposta

5\sqrt{x^{2}-3}+C

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