Calcule a integral por meio da substituição indicada, e expresse a resposta em termos de x.
\int \operatorname{tg} x \operatorname{sec} ^{2} x d x;
u=\operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx
usando a substituição u=\tan x. O conteúdo aqui é método de substituição em integral, e vamos precisar reconhecer que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Diferenciando u=\tan x, obtemos
du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Isso nos permite reescrever dx e \operatorname{sec}^{2}x\,dx em termos de du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \int u\,du.

Passo 4

A integral de u em relação a u é
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C.

Passo 5

Voltando à variável original, u=\tan x, a primitiva fica
\frac{\tan^{2}x}{2} + C.

Resposta

\frac{\tan^{2}x}{2} + C

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