Calcule a integral por meio da substituição indicada, e expresse a resposta em termos de x.
\int \frac{(1+\sqrt{x})^{3}}{\sqrt{x}} d x;
u=1+\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{(1+\sqrt{x})^3}{\sqrt{x}}\,dx
usando a substituição u=1+\sqrt{x}. Esse é um problema de integração por substituição, onde vamos reescrever toda a integral em função de u e de du.

Passo 2

Com u=1+\sqrt{x} temos
du = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx
ou seja
dx = 2\sqrt{x}\,du.

Passo 3

Também vemos que \sqrt{x}=u-1. Substituindo na integranda,
\frac{(1+\sqrt{x})^3}{\sqrt{x}}\,dx = \frac{u^3}{u-1}\,\bigl(2(u-1)\,du\bigr) = 2u^3\,du.

Passo 4

Agora, a integral em u fica
\int 2u^3\,du = 2\cdot\frac{u^4}{4}+C = \frac{u^4}{2}+C.

Passo 5

Voltando à variável original x (lembre que u=1+\sqrt{x}), obtemos
\frac{(1+\sqrt{x})^4}{2}+C.

Resposta

\frac{(1+\sqrt{x})^4}{2}+C

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