Calcule o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{rrr}3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz quadrada A\in\mathbb{R}^{3\times3} e pede o posto (dimensão da imagem de A) e a nulidade (dimensão do núcleo de A). Como A é 3\times3, basta verificar se é invertível: se \det(A)\neq0, então \mathrm{rank}(A)=3 e, pelo Teorema do posto–nulidade, \mathrm{nullity}(A)=3-3=0.

Passo 2

Calculemos o determinante de
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ 1 & 2 & -1\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Usando a expansão pela primeira linha:
\det(A) =3\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & 3\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
Agora,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} =2\cdot3-(-1)\cdot1=6+1=7,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & 3\end{pmatrix} =1\cdot3-(-1)\cdot2=3+2=5,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1-2\cdot2=1-4=-3.
Portanto,
\det(A)=3\cdot7-2\cdot5+1\cdot(-3)=21-10-3=8\neq0.
Como \det(A)\neq0, a matriz A é invertível.

Passo 3

Por A invertível, temos
\mathrm{rank}(A)=3.
Pelo Teorema do posto–nulidade, para A\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,
\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=3,
logo
\mathrm{nullity}(A)=3-3=0.

Resposta

\mathrm{rank}(A)=3 \mathrm{nullity}(A)=0

Exercícios de Livros Relacionados