Calcule os seguintes limites:
(a) \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{2-|x|}
(b) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{2-|x|}
(c) Tendo em vista os dois itens anteriores, o que se pode afirmar a respeito do \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{2-|x|} ?
(d) \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \sqrt{9-x^{2}}
(e) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2-x}{|x-2|}
(f) \lim _{x \rightarrow 0} f(x), onde \left\{\begin{array}{lll}f(x)=x^{2} & \text { se } & x \leq 0 \\\ f(x)=-x & \text { se } & x>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede limites unilaterais e bilaterais de funções que envolvem valor absoluto e definição por partes. Vamos usar que para x<0 vale \lvert x\rvert=-x e para x>0 vale \lvert x\rvert=x, além de analisar limites laterais e existência de limite bilateral.

Passo 2

Calcular \displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{x}{2-|x|}. Para x<0 temos \lvert x\rvert=-x, então
\frac{x}{2-|x|} \;=\;\frac{x}{2-(-x)} \;=\;\frac{x}{2+x}.
Como x\to0 o numerador vai a 0 e o denominador a 2, logo
\lim_{x\to0^-}\frac{x}{2-|x|} \;=\;\frac{0}{2} \;=\;0.

Passo 3

Calcular \displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{x}{2-|x|}. Para x>0 temos \lvert x\rvert=x, então
\frac{x}{2-|x|} \;=\;\frac{x}{2-x}.
Como x\to0 o numerador vai a 0 e o denominador a 2, segue
\lim_{x\to0^+}\frac{x}{2-|x|} \;=\;\frac{0}{2} \;=\;0.

Passo 4

Comparando os resultados de x\to0^- e x\to0^+ ambos iguais a 0, concluímos que o limite bilateral existe e vale 0.

Passo 5

Calcular \displaystyle\lim_{x\to3^-}\sqrt{9-x^2}. A raiz quadrada exige 9-x^2\ge0, isto é -3\le x\le3. Aproximando x\to3^- faz 9-x^2\to0^+, então
\lim_{x\to3^-}\sqrt{9-x^2} \;=\;0.

Passo 6

Calcular \displaystyle\lim_{x\to2}\frac{2-x}{|x-2|}. Note que
\frac{2-x}{|x-2|} \;=\;-\frac{x-2}{|x-2|} \;=\;-\,\mathrm{sgn}(x-2).
Para x\to2^- tem \mathrm{sgn}(x-2)=-1 e o valor vira +1. Para x\to2^+ tem \mathrm{sgn}(x-2)=+1 e o valor vira -1. Como os limites laterais são diferentes, o limite bilateral não existe.

Passo 7

Calcular \displaystyle\lim_{x\to0}f(x)\) onde \[f(x)= \begin{cases} x^2, & x\le0,\\\\ -x, & x>0. \end{cases}
Para x\to0^-\] vale \(f(x)=x^2\to0 e para x\to0^+ vale f(x)=-x\to0. Como os limites laterais coincidem em 0, o limite bilateral é 0.

Resposta

(a) \,0.
(b) \,0.
(c) Existe e vale \,0.
(d) \,0.
(e) Não existe.
(f) \,0.

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