Conclua que, se uma elipse de equação x^2a^2+y^2b^2=1 é invariante por simetria em relação à reta bissetriz do primeiro quadrante então a elipse é, de fato, um círculo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a elipse de equação x^2/a^2+y^2/b^2=1, se for invariante pela reflexão na reta bissetriz do primeiro quadrante (reta y=x), obrigatoriamente satisfaz a=b e, portanto, é um círculo. Vamos usar a ideia de que invariância por uma simetria significa que, ao aplicarmos a transformação refletora nos pontos da curva, obtemos exatamente os mesmos pontos.

Passo 2

A simetria em relação à reta y=x troca coordenadas: um ponto (x,y) vai para (y,x). Para dizer que a elipse é invariante, sempre que (x,y) satisfaz x^2/a^2+y^2/b^2=1, seu reflexo (y,x) também deve satisfazer a mesma equação. Então, substituímos (y,x) na equação da elipse.

Passo 3

Ao substituir, obtemos a condição
y^2a^2+x^2b^2=1
Como isso deve valer para qualquer (x,y) na curva, as duas formas quadráticas
x^2a^2+y^2b^2e y^2a^2+x^2b^2
devem ser idênticas. Isso só acontece se os coeficientes de x^2 e y^2 coincidirem.

Passo 4

Igualando coeficientes, vemos que
1a^2=1b^2 Longrightarrow a^2=b^2
Como a>0 e b>0 definem os semi-eixos, segue que a=b. Portanto a elipse é a curva
x^2a^2+y^2a^2=1,
o que é exatamente a equação de um círculo de raio a.

Resposta

Como a simetria força a^2=b^2 e a,b>0, temos a=b, logo a elipse é um círculo.

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