Conclua que, se uma elipse de equação
é invariante por simetria em relação à reta bissetriz do primeiro quadrante então a elipse é, de fato, um círculo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a elipse de equação
, se for invariante pela reflexão na reta bissetriz do primeiro quadrante (reta
), obrigatoriamente satisfaz
e, portanto, é um círculo. Vamos usar a ideia de que invariância por uma simetria significa que, ao aplicarmos a transformação refletora nos pontos da curva, obtemos exatamente os mesmos pontos.
Passo 2
A simetria em relação à reta
troca coordenadas: um ponto
vai para
. Para dizer que a elipse é invariante, sempre que
satisfaz
, seu reflexo
também deve satisfazer a mesma equação. Então, substituímos
na equação da elipse.
Passo 3
Ao substituir, obtemos a condição
Como isso deve valer para qualquer
na curva, as duas formas quadráticas
devem ser idênticas. Isso só acontece se os coeficientes de
e
coincidirem.
Passo 4
Igualando coeficientes, vemos que
Como
e
definem os semi-eixos, segue que
. Portanto a elipse é a curva
o que é exatamente a equação de um círculo de raio
.
Resposta
Como a simetria força
e
, temos
, logo a elipse é um círculo.