1.4 Dada a sentença aberta P(n): 1+2+cdots+n=[n(n+1) / 2]+1, em N, mostre que
(i) Para todo n in N, se P(n) é verdadeira então P(n+1) é verdadeira;
(ii) P(n) não é verdadeira para nenhum n.

Passo 1

Resumo: Temos a sentença aberta em P(n):1+2+cdots+n=n(n+1)2+1 definida para nin N . O conteúdo aqui é o princípio da indução e o uso de contrarrecíproca para mostrar que não há nenhum n que satisfaça P(n).

Passo 2

Para (i), suponha que P(n) seja verdadeira, ou seja, assume-se
\
1+2+cdots+n=n(n+1)2+1
Então somando n+1 em ambos os lados, obtemos
\
1+2+cdots+n+(n+1)=(n(n+1)2+1)+(n+1)
Fazendo a simplificação, temos
\
(n(n+1)2+1)+(n+1)=n(n+1)+2(n+1)+22=(n+1)(n+2)2+1
Isso mostra que P(n+1) vale sempre que P(n) valer, concluindo a etapa indutiva.

Passo 3

Para (ii), verificamos o caso base n=1:
\
1 =? 1cdot22 + 1 = 1 + 1 = 2
Como 1neq2, P(1) é falsa.

Passo 4

Agora, se existisse algum kin N tal que P(k) fosse verdadeira, então aplicando repetidamente a implicação de (i) teríamos P(1) verdadeira, o que é contraditório. Portanto, P(n) não é verdadeira para nenhum nin N.

Resposta

Mostramos que a etapa indutiva P(n)implies P(n+1) vale, mas o caso base P(1) é falso. Logo, por contrarrecíproca da indução, P(n) não é verdadeira para nenhum nin N.

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