1.4 Dada a sentença aberta
, em
, mostre que
(i) Para todo
, se
é verdadeira então
é verdadeira;
(ii)
não é verdadeira para nenhum
.
(i) Para todo
(ii)
Passo 1
Resumo: Temos a sentença aberta em
definida para
. O conteúdo aqui é o princípio da indução e o uso de contrarrecíproca para mostrar que não há nenhum
que satisfaça
.
Passo 2
Para (i), suponha que
seja verdadeira, ou seja, assume-se
\
\
Então somando
em ambos os lados, obtemos
\
\
Fazendo a simplificação, temos
\
\
Isso mostra que
vale sempre que
valer, concluindo a etapa indutiva.
Passo 3
Para (ii), verificamos o caso base
:
\
\
Como
,
é falsa.
Passo 4
Agora, se existisse algum
tal que
fosse verdadeira, então aplicando repetidamente a implicação de (i) teríamos
verdadeira, o que é contraditório. Portanto,
não é verdadeira para nenhum
.
Resposta
Mostramos que a etapa indutiva
vale, mas o caso base
é falso. Logo, por contrarrecíproca da indução,
não é verdadeira para nenhum
.